知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知$x=1$是函数$f(x)=m{{x}^{3}}-3(m+1){{x}^{2}}+nx+1$的一个极值点，其中$m,n\in R,m < 0$，

$(1)$求$m$与$n$的关系式；

$(2)$求$f(x)$的单调区间；

$(3)$当$x\in \left[ -1,1 \right]$时，函数$y=f(x)$的图象上任意一点的切线斜率恒大于$3m$，求$m$的取值范围．

难度：中等

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2．

为了净化广州水系，拟在小清河建一座平面图$($如图所示$)$为矩形且面积为$200 m^{2}$的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过$16 m$，如果池外壁建造单价为$400$元$/m$，中间两条隔墙建造单价为$248$元$/m$，池底建造单价为$80$元$/m^{2}($池壁厚度忽略不计，且池无盖$)$．

$(1)$写出总造价$y($元$)$与$x$的函数关系式，并指出定义域；

$(2)$求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低，并求最低造价．

难度：难

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3．已知函数f（x）= $%20%5Cfrac%20%7B1-x%7D%7B1%2Bx%7D$ ．
（1）证明：f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减；
（2）设g（x）=log₂f（x），x∈（0，1），求g（x）的值域．

难度：较易

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4．给出下列四个命题：
①函数y=|x|与函数y=（ $%20%5Csqrt%20%7Bx%7D$ ）²表示同一个函数；
②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；
③若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
④设函数f（x）是在区间[a，b]上图象连续的函数，且f（a）•f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间[a，b]上至少有一实根；
其中正确命题的序号是 ______ （填上所有正确命题的序号）

难度：易

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5．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元．根据市场调查，销售商一次订购量不会超过500件．
（I）设一次订购量为x件，服装的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（Ⅱ）当销售商一次订购了450件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？
（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本）

难度：较难

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6．
某网店经营的一种商品进行进价是每件$10$元，根据一周的销售数据得出周销售量$P($件$)$与单价$x($元$)$之间的关系如下图所示，该网店与这种商品有关的周开支均为$25$元．

$(1)$根据周销售量图写出$P($件$)$与单价$x($元$)$之间的函数关系式；

$(2)$写出利润$y($元$)$与单价$x($元$)$之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．

难度：中等

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7．对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数．
（Ⅰ）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f₁（x），f₂（x）的生成函数？并说明理由；
第一组： $f_%7B1%7D%28x%29%3Dsinx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3Dcosx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0h%28x%29%3Dsin%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B3%7D%29$ ；
第二组：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（Ⅱ）设 $f_%7B1%7D%28x%29%3Dlog_%7B2%7Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3Dlog_%7B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%7Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0a%3D2%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0b%3D1$ ，生成函数h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设 $f_%7B1%7D%28x%29%3Dx%EF%BC%8C%C2%A0%C2%A0%C2%A0f_%7B2%7D%28x%29%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bx%7D%C2%A0%C2%A0%C2%A0%281%E2%89%A4x%E2%89%A410%29$ ，取a=1，b＞0，生成函数h（x）使h（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

难度：中等

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8．
已知函数$f(x)= \dfrac {1-x}{1+x}$．
$(1)$证明：$f(x)$在$x∈(0,+∞)$上单调递减；
$(2)$设$g(x)=\log _{2}f(x)$，$x∈(0,1)$，求$g(x)$的值域．

难度：较易

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9．已知集合A={x|ax²+2x+1=0，x∈R}，a为实数．
（1）若A是空集，求a的取值范围
（2）若A是单元素集，求a的值．

难度：中等

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10．某问答游戏的规则是：共5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分．试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关系．

难度：中等

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