知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]使得方程|f（x）-2x|=t²-2t-8有解，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）设g(x)=
f(x)
x
，若g(2x)+k•
2
2x
-k≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．

难度：中等

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2．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f（x）=x²+x+b（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．求：
（1）求实数b的取值范围；
（2）求圆C的方程（用含b的方程表示）
（3）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

难度：中等

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3．已知二次函数f（x）=x²+mx+n．
（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的前提下，函数g(x)=
6x
f(x)
，解关于x的不等式g（2^x）＞2^x；
（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[-1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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4．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

难度：较难

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5．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且f（-1+x）=f（-1-x），f（0）=1，f（-1）=0，令g（x）=ln（x-1）²-f（x）．
（1）求函数f（x）的表达式及函数g（x）的单调区间；
（2）关于x的方程g（x）=-x²-x-1-a在[0，2]上恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．设函数f（x）=x²-ax+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在[0，1]上不单调，求a的取值范围
（Ⅱ）对任意x∈[-1，1]，都存在y∈R，使得f（y）=f（x）+y成立，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax²-ax-1（a∈R）．
（1）若对任意实数x，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）＜2x-3．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=kx²+（3+k）x+3，其中k为常数
（Ⅰ）若f（x）在区间[-2，2]上是增函数，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在非正实数k使得函数f（x）在[-1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=ax²-2x+1．
（1）试讨论函数f（x）的单调性；
（2）若
1
3
≤a≤1，且f（x）在[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a），求g（a）的表达式；
（3）在（2）的条件下，求g（a）的最大值．

难度：较难

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10．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若f（1）=0，a＞b＞c．
①求证：f（x）的图象与x轴有两个交点；
②设函数图象与x轴的两个交点分别为A、B，求线段AB的取值范围．
（Ⅱ）若存在x₁、x₂且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），试说明方程f（x）=
f(x1)+f(x2)
2
，必有一根在区间（x₁，x₂）内．

难度：较难

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