知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知在等差数列{a_n}中，
a11+a12+…+a20
10
=
a1+a2+…a30
30
，则在等比数列{b_n}中，类似的结论为．

难度：中等

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2．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=（
1
4
）ⁿ，S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n= ．

难度：较难

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3．在平面内有下面关于直角三角形边长的勾股定理定理：直角三角形ABC中，AC⊥BC，则有AB²=AC²+BC²．将它类比到空间中关于直角三棱锥的面积的命题应该是：若三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA；则有．

难度：中等

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4．不等式（x+1）（x²-4x+3）＞0有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出y₁=x+1和y₂=x²-4x+3的图象然后进行求解，请类比求解以下问题：
设a，b∈Z，若对任意x≤0，都有（ax+2）（x²+2b）≤0，则a+b= ．

难度：较难

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5．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：
x+
1
x
≥2，
x+
4
x2
=
x
2
+
x
2
+
4
x2
≥3，
x+
27
x3
=
x
3
+
x
3
+
x
3
+
27
x3
≥4，
…
类比得：x+
a
xn
≥n+1(n∈N*)，则a= ．

难度：中等

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6．在解不等式“x³+1＞0”中，我们有如下解题思路：设f（x）=x³+1，则f（x）在R上单调递增，且f（-1）=0，所以不等式x³+1＞0的解集是（-1，+∞）．类比上述解题思路，则不等式e^x+x-1＞0的解集为．

难度：中等

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7．如图（1），在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB²=BD•BC；若类比该命题，如图（2），三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有．

难度：较难

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8．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a²+b²=c²，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O-ABC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，S为顶点O所对面的面积，S₁，S₂，S₃分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S，S₁，S₂，S₃满足的关系式为．

难度：中等

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9．二维空间中，正方形的一维测度（周长）l=4a（其中a为正方形的边长），二维测度（面积）S=a²；三维空间中，正方体的二维测度（表面积）S=6a²（其中a为正方形的边长），三维测度（体积）V=a³；应用合情推理，若四维空间中，“超立方”的三维测度V=4a³，则其四维测度W= ．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系中，①若直线y=x+b与圆x²+y²=4相切，即圆x²+y²=4上恰有一个点到直线y=x+b的距离为0，则b的值为；②若将①中的“圆x²+y²=4”改为“曲线x=
4-y2
”，将“恰有一个点”改为“恰有三个点”，将“距离为0”改为“距离为1”，即若曲线x=
4-y2
上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则b的取值范围是．

难度：较难

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