知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：
（1）c²＞ab；
（2）c-
c2-ab
＜a＜c+
c2-ab
．

难度：中等

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2．对于数对序列P：（a₁，b₁），（a₂，b₂），…，（a_n，b_n），记T₁（P）=a₁+b₁，T_k（P）=b_k+max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}（2≤k≤n），其中max{T_k-1（P），a₁+a₂+…+a_k}表示T_k-1（P）和a₁+a₂+…+a_k两个数中最大的数，
（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T₁（P），T₂（P）的值；
（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T₂（P）和T₂（P′）的大小；
（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T₅（P）最小，并写出T₅（P）的值（只需写出结论）．

难度：较难

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3．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明：当x＞-1且x≠0时，（1+x）^p＞1+px；
（Ⅱ）数列{a_n}满足a₁＞c
1
p
，a_n+1=
p-1
p
a_n+
c
p
a_n^1-p．证明：a_n＞a_n+1＞c
1
p
．

难度：较难

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4．已知f（x）=
1+x2
，试用不同方法证明：|f（a）-f（b）|≤|a-b|．

难度：中等

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5．已知f（x）=
1
2x+
2
，证明f（x）+f（1-x）=
2
2
．

难度：较易

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6．证明：f（x）=x³-ax-1图象不可能总在直线y=a的上方．

难度：中等

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7．已知定线段AB所在的直线与定平面α相交，P为直线AB外的一点，且P不在α内，若直线AP，BP与α分别交于C，D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点．

难度：中等

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8．设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：
aA+bB+cC
a+b+c
≥
π
3
．

难度：中等

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9．设a₁，a₂，…，a_n为正数，求证：
a
2
1
a2
+
a
2
2
a3
+…+
a
2
n-1
an
+
a
2
n
a1
≥a₁+a₂+…+a_n．

难度：中等

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10．设x_i，y_i （i=1，2，…，n）是实数，且x₁≥x₂≥…≥x_n，y₁≥y₂≥…≥y_n，而z₁，z₂，…，z_n是y₁，y₂，…，y_n的一个排列．求证：
n
i-1
（x_i-y_i）²≥
n
i-1
（x_i-z_i）²．

难度：较难

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