知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

请按要求完成下列两题的证明

\((1)\)已知\(0 < a < 1,0 < b < 1\)，用分析法证明：\(\dfrac{a+b}{1+ab} < 1\)

\((2)\)若\(x,y\)都是正实数，且\(x+y > 2,\)用反证法证明：\(\dfrac{1+x}{y} < 2\)与\(\dfrac{1+y}{x} < 2\)中至少有一个成立．

难度：较难

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2．

\((1)\)已知\(x > 1\)，求证：\({{x}^{2}}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}} > x+\dfrac{1}{x}\)；

\((2)\)已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试用反证法证明\(a\)，\(b\)，\(c\)中至少有一个不小于\(1\)．

难度：较难

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3．

已知\(a\neq 0\)，证明关于\(x\)的方程\(ax=b\)有且只有一个根．

难度：难

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4．
已知二次函数\(f(x)=ax\)\({\,\!}^{2}\) \(+bx+c(a > 0)\)的图象与\(x\)轴有两个不同的交点，若\(f(c)=0\)，且\(0 < x < c\)时，\(f(x) > 0\)．
\((1)\)证明：\( \dfrac{1}{a}\) 是\(f(x)=0\)的一个根；
\((2)\)试比较\( \dfrac{1}{a}\) 与\(c\)的大小；

\((3)\)证明：\(-2 < b < -1\)．

难度：中等

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5．

设\(\{a_{n}\}\)是公比为\(q\)的等比数列，\(S_{n}\)是它的前\(n\)项和．

\((1)\)求证：数列\(\{S_{n}\}\)不是等比数列；

\((2)\)数列\(\{S_{n}\}\)是等差数列吗？为什么？

难度：中等

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6．
已知实数\(p\)满足不等式\((2p+1)(p+2) < 0\)，用反证法证明，关于\(x\)的方程\(x^{2}-2x+5-p^{2}=0\)无实数根．

难度：中等

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7． \((1)\)已知\(a > 0\)，求证：\(\sqrt{a+5}- \sqrt{a+3} > \sqrt{a+6}- \sqrt{a+4} \)
\((2)\)证明：已知\(x∈R\)，\(a=x^{2}-x+1\)，\(b=4-x\)，\(c=x^{2}-2x.\)试证明\(a\)，\(b\)，\(c\)至少有一个不小于\(1\)．

难度：难

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8．
若\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)，求证：\(a\)，\(b\)，\(c\)不可能都是奇数．

难度：中等

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9．
\((1)\)当\(n\geqslant 0\)时，试用分析法证明：\(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1} < \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)；

\((2)\)已知\(x\in R\)，\(a={{x}^{2}}-1,b=2x+2.\)求证：\(ab\)中至少有一个不小于\(0\)．

难度：中等

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10．
已知\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，\(a\)，\(b\)，\(c∈R\)，且\(g(x)\)满足\(f(x)=(x+i)g(x)\)．

\((1)\)求证：\(g(x)\)的系数不可能全为实数．

\((2)\)若\(f(i)+f(-i)+f(1)=0\)，求\(f(x)\)的表达式．

难度：中等

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