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          共50条信息

            • 1．
              有如下数阵\((2)\)，\((2^{2},2^{3})\)，\((2^{3},2^{4},2^{5})\)，\(…(2^{n},2^{n+1},…2^{2n-1})\)其中第\(n\)个括号内的所有元素之和记为\(a_{n}\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求数列\(\{a_{n}\}\)的通项公式；
              \((\)Ⅱ\()\)令\(b_{n}=(-1)^{n}⋅n^{2}+\log _{2}(4^{n}-a_{n})\)，求数列\(\{b_{n}\}\)的前\(100\)项和\(S_{100}\)．
              难度：较易
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            • 2．
              某企业\(2017\)年招聘员工，其中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例\((\)精确到\(1\%)\)如下：
              岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
              \(A\) \(269\) \(167\) \(62\%\) \(40\) \(24\) \(60\%\)
              \(B\) \(40\) \(12\) \(30\%\) \(202\) \(62\) \(31\%\)
              \(C\) \(177\) \(57\) \(32\%\) \(184\) \(59\) \(32\%\)
              \(D\) \(44\) \(26\) \(59\%\) \(38\) \(22\) \(58\%\)
              \(E\) \(3\) \(2\) \(67\%\) \(3\) \(2\) \(67\%\)
              总计 \(533\) \(264\) \(50\%\) \(467\) \(169\) \(36\%\)
              \((\)Ⅰ\()\)从表中所有应聘人员中随机选择\(1\)人，试估计此人被录用的概率；
              \((\)Ⅱ\()\)从应聘\(E\)岗位的\(6\)人中随机选择\(1\)名男性和\(1\)名女性，求这\(2\)人均被录用的概率；
              \((\)Ⅲ\()\)表中\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)、\(E\)各岗位的男性、女性录用比例都接近\((\)二者之差的绝对值不大于\(5\%)\)，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例\(.\)研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位\(.(\)只需写出结论\()\)
              难度：易
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            • 3． 某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
              （1）cos（-60°）+cos60°+cos180°；     
              （2）cos（-27°）+cos107°+cos227°；
              （3）cos30°+cos150°+cos270°；     
               （4）cos40°+cos160°+cos280°．
              （Ⅰ）试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；
              （Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．
              难度：易
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            • 4．
              观察下列三角形数表：

              假设第\(n\)行的第二个数为\(a_{n}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)，
              \((1)\)归纳出\(a_{n+1}\)与\(a_{n}\)的关系式，并求出\(a_{n}\)的通项公式；
              \((2)\)设\(a_{n}b_{n}=1(n\geqslant 2)\)，求证：\(b_{2}+b_{3}+…+b_{n} < 2\)．
              难度：易
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            • 5．
              观察下列三角形数表，数表\((1)\)是杨辉三角数表，数表\((2)\)是与数表\((1)\)有相同构成规律\((\)除每行首末两端的数外\()\)的一个数表

              对于数表\((2)\)，设第\(n\)行第二个数为\(a_{n}(n∈N^{*})(\)如\(a_{1}=2\)，\(a_{2}=4\)，\(a_{3}=7)\)
              \((I)\)归纳出\(a_{n}\)与\(a_{n-1}(n\geqslant 2,n∈N^{*})\)的递推公式\((\)不用证明\()\)，并由归纳的递推公式，求出\(\{a_{n}\}\)的通项公式\(a_{n}\)
              \((\)Ⅱ\()\)数列\(\{b_{n}\}\)满足：\((a_{n}-1)⋅b_{n}=1\)，求证：\(b_{1}+b_{1}+…+b_{n} < 2\)．
              难度：较易
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            • 6．
              设\(A_{2n}=(a_{1},a_{2},…,a_{2n})\)是由\(2n\)个实数组成的有序数组，满足下列条件：\(①a_{i}∈\{1,-1\}\)，\(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(2n\)；\(②a_{1}+a_{2}+…+a_{2n}=0\)；\(③a_{1}+a_{2}+…+a_{i}\geqslant 0\)，\(i=1\)，\(2\)，\(…\)，\(2n-1\)．
              \((\)Ⅰ\()\)当\(n=3\)时，写出满足题设条件的全部\(A_{6}\)；
              \((\)Ⅱ\()\)设\(n=2k-1\)，其中\(k∈N^{*}\)，求\(a_{1}+a_{2}+…+a_{n}\)的取值集合；
              \((\)Ⅲ\()\)给定正整数\(n\)，求\(A_{2n}\)的个数．
              难度：中等
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            • 7．

              某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：

              \((1)\cos (-60^{\circ})+\cos 60^{\circ}+\cos 180^{\circ}\)；

              \((2)\cos (-27^{\circ})+\cos 107^{\circ}+\cos 227^{\circ}\)；

              \((3)\cos 30^{\circ}+\cos 150^{\circ}+\cos 270^{\circ}\)；

              \((4)\cos 40^{\circ}+\cos 160^{\circ}+\cos 280^{\circ}\)．

              \((\)Ⅰ\()\)试从上述四个式子中选择一个式子，进行化简求值；

              \((\)Ⅱ\()\)根据\((\)Ⅰ\()\)的计算结果，请你写出一个以题设的四个式子为特例的一般性命题，并给出证明．

              难度：较易
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            • 8．
              \(f(x)= \dfrac {1}{3^{x}+ \sqrt {3}}\)，先分别求\(f(0)+f(1)\)，\(f(-1)+f(2)\)，\(f(-2)+f(3)\)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．
              难度：难
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            • 9．
              如果一条信息有\(n(n > 1,n∈N)\)种可能的情形\((\)各种情形之间互不相容\()\)，且这些情形发生的概率分别为\(p_{1}\)，\(p_{2}\)，\(…\)，\(p_{n}\)，则称\(H=f(p_{1})+f(p_{2})+…f(p_{n})(\)其中\(f(x)=-x\log _{a}x\)，\(x∈(0,1))\)为该条信息的信息熵\(.\)已知\(f( \dfrac {1}{2})= \dfrac {1}{2}\)．
              \((1)\)若某班共有\(32\)名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；
              \((2)\)某次比赛共有\(n\)位选手\((\)分别记为\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，\(…\)，\(A_{n})\)参加，若当\(k=1\)，\(2\)，\(…\)，\(n-1\)时，选手\(A_{k}\)获得冠军的概率为\(2^{-k}\)，求“谁获得冠军”的信息熵\(H\)关于\(n\)的表达式．
              难度：较易
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            • 10． （1）计算：C
               
              2013
              2014
              +A
               
              3
              5
              ；
              （2）观察下面一组组合数等式：C
               
              1
              n
              =nC
               
              0
              n-1
              ；2C
               
              2
              n
              =nC
               
              1
              n-1
              ；3C
               
              3
              n
              =nC
               
              2
              n-1
              ；…由以上规律，请写出第k（k∈N*）个等式并证明．
              难度：中等
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