知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
6
sin
x
2
cos
x
2
+
2
cos2
x
2

（1）将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（2）求f（x）的单调递减区间，并指出函数|f（x）|的最小正周期；
（3）求函数f（x）在[
π
4
，
7π
6
]上的最大值和最小值．

难度：中等

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2．如图，四边形OQRP为矩形，其中P，Q分别是函数f（x）=
3
sinwx（A＞0，w＞0）图象上的一个最高点和最低点，O为坐标原点，R为图象与x轴的交点．
（1）求f（x）的解析式
（2）对于x∈[0，3]，方程f²（x）-af（x）+1=0恒有四个不同的实数根，求实数a的取值范围

难度：中等

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3．（1）求y=sin(2x-
π
6
)+2，x∈[-
π
2
，
π
3
]的值域．
（2）求函数y=sin²x-acosx+3，x∈[0，π]的最大值和最小值．

难度：中等

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4．设向量
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosx，sinx），x∈R，函数f（x）=
a
•（
a
-
b
）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（3）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的值域．

难度：较易

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5．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．
（1）f（
π
4
）=
2
，f（x）的最大值为
10
，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=
π
6
是f（x）的图象的一条对称轴，求x₀的值，使其满足f（x₀）=
3
，且x₀∈[0，2π]．

难度：中等

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6．（2015春•邯郸校级期中）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）在一个周期内的图象，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移
π
6
个单位，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的解析式，当x∈[0，π]，求函数y=g（x）的值域．

难度：较易

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7．已知向量
m
=(cos
x
3
，
3
cos
x
3
)，
n
=(sin
x
3
，cos
x
3
)，f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）如果先将f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
3
倍，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，求φ的最小值．

难度：中等

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8．设实数a＜0，定义域为R的函数f(x)=acos2x-bsinxcosx-
a
2
的最大值是
1
2
，且f(
π
3
)=
3
4
，
（1）求a、b的值；
（2）求函数f（x）在x∈[
π
4
，
3π
4
]上的最值．

难度：中等

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9．已知函数f(x)=2sin(
1
3
x-
π
3
)．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(3α-
π
2
)=-
16
17
，f(3β+π)=
6
5
，求cos（α+β）的值．

难度：中等

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10．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x0∈(0，
π
2
)，f(x0)=
3
，若g（x）=1+2cos2x，求g（x₀）的值；
（3）若h（x）=1+2cos2x+a，且方程f（x）-h（x）=0在[0，
π
2
]上有解，求实数a的取值范围．

难度：中等

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