知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知函数$f(x)=\ln \dfrac {1+x}{1-x}$的定义域为集合$A$，集合$B=(a,a+1)$，且$B⊆A$．
$(1)$求实数$a$的取值范围；
$(2)$求证：函数$f(x)$是奇函数但不是偶函数．

难度：易

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2．
已知函数$f(x)= \dfrac {a}{e^{x}+1}+1$为奇函数．
$(1)$判断$f(x)$的单调性并证明；
$(2)$解不等式$f(\log _{2}^{2}x)+f(\log _{ \sqrt {2}}x-3)\leqslant 0$．

难度：较易

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3．
已知函数$f(x)=|1- \dfrac {a}{x}|(x\neq 0$，常数$a∈R)$．
$(1)$讨论函数$f(x)$的奇偶性，并说明理由；
$(2)$当$a > 0$时，研究函数$f(x)$在$x∈(0,+∞)$内的单调性．

难度：较易

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4．
已知函数$f(x)=2^{x}+2^{-x}$．
$(1)$求证：函数$f(x)$是偶函数；
$(2)$设$a∈R$，求关于$x$的函数$y=2^{2x}+2^{-2x}-2af(x)$在$x∈[0,+∞)$时的值域$g(a)$表达式；
$(3)$若关于$x$的不等式$mf(x)\leqslant 2^{-x}+m-1$在$x∈(0,+∞)$时恒成立，求实数$m$的取值范围．

难度：中等

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5．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）-f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．
（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2^x是否为位差奇函数？说明理由；
（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的位差奇函数，求φ的值；
（3）若f（x）=x³+bx²+cx对任意属于区间 $%5B-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D%EF%BC%8C%2B%E2%88%9E%29$ 中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．

难度：较易

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6．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数，
（1）求f（x）的表达式；
（2）求g（x）在[1，3]上的最大值和最小值．

难度：较易

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7．已知函数f（x）=x+ $%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bx%7D$ 且f（1）=2
（1）求m的值；
（2）判断f（x）的奇偶性．

难度：较易

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8．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）求出f（x）的解析式；
（2）现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间和值域．

难度：较易

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9．已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）= $%20%5Cfrac%20%7B5%7D%7B2%7D$ ，f（2）= $%20%5Cfrac%20%7B17%7D%7B4%7D$ ．
（1）求a，b；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）试判断函数在（-∞，0]上的单调性，并证明；
（4）求函数f（x）的最小值．

难度：较易

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10．已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

难度：较易

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