知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

已知函数\(f(x)=\sqrt{3} \sin ωx·\cos ωx+\cos ^{2}ωx-\dfrac{1}{2} (ω > 0)\)，其最小正周期为\(\dfrac{π}{2} \)．

\((1)\)求\(f(x)\)的表达式；

\((2)\)将函数\(f(x)\)的图象向右平移\(\dfrac{π}{8} \)个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的\(2\)倍\((\)纵坐标不变\()\)，得到函数\(y=g(x)\)的图象，若关于\(x\)的方程\(g(x)+k=0\)在区间\([0, \dfrac{π}{2}] \)上有且只有一个实数解，求实数\(k\)的取值范围．

难度：中等

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2．
已知函数\(.f(x)=2\sin x\cos x+\sin ^{2}x-\cos ^{2}x.\)
\((1)\)求函数\(f(x)\)的单调递减区间；
\((2)\)将\(f(x)\)的图象向左平移\( \dfrac {π}{8}\)个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的\( \dfrac {1}{2}\)倍，可得到函数\(g(x)\)的图象，求\(g(x)\)的对称轴；
\((3)\)若\(f(- \dfrac {α}{2})=- \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)，\(α∈(0,π)\)，求\(\cos 2α\)的值．

难度：中等

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3．已知函数\(f(x)=\sin ^{2}ωx+ \sqrt {3}\sin ωx\sin (ωx+ \dfrac {π}{2})(ω > 0)\)的最小正周期为\(π\)．
\((1)\)求\(ω\)的值；
\((2)\)求函数\(f(x)\)在区间\([0, \dfrac {2π}{3}]\)上的取值范围．

难度：较易

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4．

已知函数\(f(x)=2\cos (ωx+φ)+1\left(w > 0,0\leqslant φ\leqslant \dfrac{π}{2}\right) \)的图象与\(y\)轴交于点\((0,\sqrt{3}+1)\)。且该函数的最小正周期为\(π\)．

\((1)\)求函数\(f(x)\)的解析式；

\((2)\)求函数\(f(x)\)，\(x∈\left[- \dfrac{π}{2}, \dfrac{π}{2}\right] \)的单调递减区间；

\((3)\)若关于\(x\)的方程\(f(x)-k=0(k∈R)\)，在区间\(\left[- \dfrac{π}{2}, \dfrac{π}{2}\right] \)上有两个不相等的实数根，求实数\(k\)的取值范围．

难度：中等

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5．函数\(f(x){=}2\sin({ωx}{+}\varphi)(\omega{ > }0{,}{|}\varphi{| < }\dfrac{\pi}{2})\)的一个零点为\(\dfrac{\pi}{3}\)，其图象距离该零点最近的一条对称轴为\(x{=}\dfrac{\pi}{12}\)．
\((1)\)求函数\(f(x)\)的解析式；
\((2)\)若关于\(x\)的方程\(f(x){+}\log_{2}k{=}0\)在\(x{∈[}\dfrac{\pi}{4}{,}\dfrac{2\pi}{3}{]}\)上恒有实数解，求实数\(k\)的取值范围．

难度：难

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6．已知函数\(f(x)=3\sin ( \dfrac {x}{2}+ \dfrac {π}{6})+3\)．
\((1)\)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
\((2)\)指出\(f(x)\)的周期、振幅、初相、对称轴；
\((3)\)说明此函数图象可由\(y=\sin x\)在\([0,2π]\)上的图象经怎样的变换得到．

难度：较易

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7．已知函数\(f(x)= \sqrt {3}\sin x\cos x+\cos ^{2}x-1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(f(x)\)的最小正周期、对称轴方程及单调区间；
\((\)Ⅱ\()\)现保持纵坐标不变，把\(f(x)\)图象上所有点的横坐标伸长到原来的\(4\)倍，得到新的函数\(h(x)\)；
\((ⅰ)\)求\(h(x)\)的解析式；
\((ⅱ)\triangle ABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，且满足\( \dfrac {\cos A}{\cos B}= \dfrac {b}{a}\)，\(h(A)= \dfrac { \sqrt {3}-1}{2}\)，\(c=2\)，试求\(\triangle ABC\)的面积．

难度：中等

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8．
函数\(f(x)=4{\sin }^{2}(x+ \dfrac{π}{4})−2 \sqrt{3}\sin ⁡(2x+ \dfrac{π}{2})−1 \)，且条件\(p\)：“当\( \dfrac{π}{4}⩽x⩽ \dfrac{π}{2} \)时，\(f(x)\)的取值范围”．

\((1)\)求\(f(x)\)的最大值与最小值；

\((2)\)若条件\(q\)：“\(|f(x)-m| < 2\)”，且\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要条件，求实数\(m\)的取值范围．

难度：中等

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9．
已知函数_{\({f}\left( {x} \right)={\sin }\left( \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{2}-{x} \right){\sin x}-\sqrt{3}{co}{{{s}}^{{2}}}{x}\)}．

\((1)\)求\(f(x)\)的最小正周期和最大值；

\((2)\)讨论\(f(x)\)在_{\(\left[ \dfrac{\mathrm{ }\!\!\pi\!\!{ }}{6},\dfrac{\mathrm{2 }\!\!\pi\!\!{ }}{3} \right]\)}上的单调性．

难度：中等

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10．
\((1)①\dfrac{2\sin {{46}^{\circ }}-\sqrt{3}\cos {{74}^{\circ }}}{\cos {{16}^{\circ }}}=\) _________ \(\_\)．

\(②\sin 42{}^\circ \cos 18{}^\circ -\cos 138{}^\circ \cos 72{}^\circ =\)________ __．

\((2)①\)设函数\(f(x)=\begin{cases} & x,x < 1 \\ & {{x}^{3}}-\dfrac{1}{x}+1,x\geqslant 1 \\ \end{cases}\)，则不等式\(f(6-{{x}^{2}}) > f\left( x \right)\)的解集为____ \(\_\)

\(②\)设函数\(f(x)=\begin{cases} & x,x < 1 \\ & {{x}^{3}}-\dfrac{1}{x}+1,x\geqslant 1 \\ \end{cases}\)，则\(f(\dfrac{1}{f(2)}) =\)__________

\((3)①\)将函数\(f(x)=\sin (3x+ \dfrac{π}{4}) \)图像向左平移\(m(m > 0)\)个单位后所对应的函数是偶函数，则\(m\)的最小值是．

\(②\)函数\(f(x)=\sin (3x+ \dfrac{π}{4}) \)的最小正周期为．

\((4)①\)等腰\(\Delta ABC\)的顶角\(A=\dfrac{2\pi }{3}\)，\(\left| BC \right|=2\sqrt{3}\)，以\(A\)为圆心，\(1\)为半径作圆，\(PQ\)为直径，则\(\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}\)的最大值为\(\_\)___ ______．

\(②\)等腰\(\Delta ABC\)的顶角\(A=\dfrac{2\pi }{3}\)，\(\left| BC \right|=2\sqrt{3}\)，则\(\overrightarrow{BA}\bullet \overrightarrow{AC}=\)_____ _____．

难度：难

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