知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=
2π
3
，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在
MN
上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．
（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路
MP
与线段PQ及线段QD的总长度l；
（2）求l的最小值．

难度：中等

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2．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（cm）和时间t（s）的函数关系是s=Asin（ωt+φ），0＜φ＜
π
2
，根据图象，求：
（1）函数解析式；
（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）单摆来回摆动一次需要多长时间？

难度：中等

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3．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．
（1）求出种群数量y关于时间t的函数表达式；（其中t以年初以来的月为计量单位）
（2）估计当年3月1日动物种群数量．

难度：中等

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4．某城市一年中12个月的平均气温与月份数之间的关系可近似地用三角函数来描述，已知6月份的月平均气温最高，为29.45℃，12月份的月平均气温最低，为18.3℃，求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象．

难度：中等

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5．小李以10元一股的价格购买了一支股票，他将股票当天的最高价格y（元）与第t个交易日，其中0≤t≤24进行了记录，得到有关数据如下：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/元 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.01 7.0 10.0
他经过研究后认为单支股票当天的最高价格y（元）是第t个交易日的函数y=f（t），并且认为y=f（t）的曲线可近似地看作函数f（t）=Asinωt+b的图象，请根据他的观点解决问题：试根据以上数据，求出函数f（t）=Asinωt+b的振幅、最小正周期和表达式．

难度：中等

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6．如图，一块弓形薄铁片EAF，点M为
EF
的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内）．∠EOF=
2π
3
，将弓形薄铁片截成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗）．AD∥EF且A、D在
EF
上，设∠AOD=2θ．
（1）求矩形铁片ABCD的面积与关于θ的函数解析式；
（2）当裁出的矩形铁片ABCD的面积最大时，求cosθ的值．

难度：中等

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7．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔12h20min，低潮时入口处水的深度为2.8m，高潮时为8.4m，一次高潮发生在10月 3日2：00．
（1）若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）求出10月5日4：00水的深度；
（3）求出10月3日吃水深度为5m的轮船能进入港口的时间．

难度：中等

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8．某地人民医院急诊科2011年的住院病人数y（人）是时间t（1≤t≤12，t∈N^*，单位：月）的函数，根据资料有如下统计数据：
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
y 40 37 33 30 27 24 20 23 26 31 34 36
y与t函数可以近似的看成正弦函数y=Asin（ωt+φ）+b（A，ω，φ，b为正常数且0＜φ＜π）．
（1）求函数的解析式；
（2）根据所得函数解析式估计一年中大约有几个月的时间急诊科的住院病人数大于或等于35人．

难度：较难

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t	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y/元	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.01	7.0	10.0