知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若函数f（x）=
3
sin2x+2cos2x+m在区间[0，
π
2
]上的最小值为3，求常数m的值及此函数当x∈[a，a+π]（其中a可取任意实数）时的最大值．

难度：较易

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2．已知函数f（x）=
3
sinx+cosx．
（1）求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=f（x）cosx，x∈[0，
π
2
]，求g（x）的值域．

难度：较易

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3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（A+C）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数f（x）=2sin2x+sin（2x-B）（x∈R）的最大值．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=2sinωxcos(ωx+
π
3
)（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-
π
6
，
π
2
]上的最大值和最小值．

难度：中等

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5．设函数f（x）=
3
sinxcsox+cos²x+m
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值．

难度：较易

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6．设函数f（x）=cosx•cos（x-θ）-
1
2
cosθ，θ∈（0，π）．已知当x=
π
3
时，f（x）取得最大值．
（1）求θ的值；
（2）设g（x）=2f（
3
2
x），求函数g（x）在[0，
π
3
]上的最大值．

难度：中等

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7．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB=30km，BC=15km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为ykm．
（1）将y表示为x的函数；
（2）试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到0.01km）．

难度：中等

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8．（2016•南通一模）如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O₁为圆心，半径为1km的半圆面．公路l经过点O，且与直径OA垂直，现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点．
（1）按下列要求建立函数关系：
①设∠OPQ=α（rad），将△OPQ的面积S表示为α的函数；
②设OQ=t（km），将△OPQ的面积S表示为t的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求△OPQ的面积S的最小值．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=1+cos2x-sin2x-a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，函数f（x）的最小值是-2，求f（x）的最大值．

难度：较易

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10．已知f（x）=sinx+
3
cosx （x∈R）
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．

难度：中等

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