知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
扇形\(AOB\)的中心角为\(2θ\)，\(θ∈(0, \dfrac {π}{2})\)，半径为\(r\)，在扇形\(AOB\)中作内切圆\(O_{1}\)与圆\(O_{1}\)外切，与\(OA\)，\(OB\)相切的圆\(O_{2}\)，问\(\sin θ\)为何值时，圆\(O_{2}\)的面积最大？最大值是多少？

难度：较易

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2．
已知扇形的圆心角为\(\alpha \)，所在圆的半径为\(r\)．

\((1)\)若\(\alpha ={{120}^{0}}\)，\(r=6\)，求扇形的弧长．

\((2)\)若扇形的周长为\(24\)，当\(\alpha \)为多少弧度时，该扇形面积\(S\)最大，最大值是多少？

难度：较难

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3．已知函数\(f(x)=\sin x·\cos x- \sqrt{3}{\cos }^{2}x+ \dfrac{ \sqrt{3}}{2} \)
\((1)\)求 \(f\)\(( \)\(x\)\()\)的最小正周期；
\((2)\)写出 \(f\)\(( \)\(x\)\()\)的单调递减区间；
\((3)\)求出当\(x∈(0, \dfrac{π}{2}) \)时，函数 \(f\)\(( \)\(x\)\()\)的值域．

难度：难

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4．（2016春•扬州校级期中）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2，BC=4，现要将此铁皮剪出一个△PMN，其中边MN⊥BC，点P在曲线MAB上运动．
（1）设∠MOD=30°，若PM=PN，求△PMN的面积；
（2）求剪下的铁皮△PMN面积的最大值．

难度：中等

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5．（2016春•南京期中）如图，扇形AOB是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB的大小等于
π
3
，半径OA=200m，点M在半径OA上，点N在
AB
上，且MN∥OB，求观光道路OM与MN长度之和的最大值．

难度：中等

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6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB=
π
4
，记该设施平面图的面积为S（x）m²，∠AOB=xrad，其中
π
2
＜x＜π．
（1）写出S（x）关于x的函数关系式；
（2）如何设计∠AOB，使得S（x）有最大值？

难度：较难

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