知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．

难度：中等

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2．已知
a
=（m，cos
x
2
），
b
=（sin
x
2
，n），函数f（x）=
a
•
b
，函数f（x）的图象过点（
π
2
，4）和点（-
π
2
，0）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内的图象．

难度：中等

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3．（2016春•辽宁期中）已知f（x）=3cos²
ωx
2
+
3
2
sinωx-
3
2
（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，点A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且三角形ABC的面积为
3
4
π．
（1）求ω的值及函数f（x）的对称轴方程；
（2）若f（x₀）=
4
3
5
，x₀∈（
π
12
，
π
3
），求f（x₀+
π
6
）的值．

难度：中等

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4．求函数f（x）=sin（x+
π
3
）+2sin（x-
π
3
）的周期及单调增区间．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=2
3
sin
x
2
cos
x
2
-2cos2
x
2
．
（Ⅰ）求f(
π
3
)的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程．

难度：中等

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6．如图，某单位准备绿化一块直径AB=a的半圆形空地，△ABC以外地方种草，△ABC的内接正方形PQMN为一水池，其余的地方种花，设∠BAC=θ，△ABC的面积为S₁，正方形PQMN的面积为S₂．
（Ⅰ）试用a，θ表示S₁、S₂；
（Ⅱ）当a固定θ变化时，求θ为何值时，
S1
S2
取得最小值？最小值是多少？

难度：较难

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7．已知函数f（x）=sin2x-2sin²x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的最大值及f（x）取最大值时x的集合并求函数f（x）的单调增区间．

难度：较易

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8．已知函数f（x）=cos x•sin（x+
π
3
）-
3
cos²x+
3
4
，x∈R．
（1）若0＜α＜
π
2
，且sinα=
3
2
，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

难度：较易

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9．已知向量
a
=（cos
3
2
x，sin
3
2
x），
b
=（cos
x
2
，-sin
x
2
），且x∈[
π
2
，
3
2
π]
（Ⅰ）求|
a
+
b
|的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|的最小值，并求此时x的值；
（Ⅲ）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|，其中k＞0，求
a
•
b
的最小值，并求此时
a
与
b
的夹角的大小．

难度：中等

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10．已知：
a
=（4sinx，cosx-sinx），
b
=（sin²（
π
4
+
x
2
），cosx+sinx），函数f（x）=
a
•
b
．
（1）设ω＞0且为常数，若y=f（ωx）在区间[-
π
2
，
2π
3
]上是增函数，求ω的取值范围．
（2）若f（x）=cosx+1，求tan（2x+
π
6
）的值．

难度：较难

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