知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征$.2016$年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了$40$名广场舞者进行调查，将他们年龄分成$6$段：$[20,30)$，$[30,40)$，$[40,50)$，$[50,60)$，$[60,70)$，$[70,80]$后得到如图所示的频率分布直方图．
$(I)$计算这$40$名广场舞者中年龄分布在$[40,70)$的人数；
$(II)$估计这$40$名广场舞者年龄的众数和中位数；
$(III)$若从年龄在$[20,40)$中的广场舞者中任取$2$名，求这两名广场舞者中恰有一人年龄在$[30,40)$的概率．

难度：中等

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2．

诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“$ \dfrac {{周实际回收水费}}{{周投入成本}}$”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周$($共三个周期$)$的诚信数据统计：

	第一周	第二周	第三周	第四周
第一个周期	$95\%$	$98\%$	$92\%$	$88\%$
第二个周期	$94\%$	$94\%$	$83\%$	$80\%$
第三个周期	$85\%$	$92\%$	$95\%$	$96\%$

$(1)$计算表中十二周“水站诚信度”的平均数$ \overline {x}$；
$(2)$分别从表中每个周期的$4$个数据中随机抽取$1$个数据，设随机变量$X$表示取出的$3$个数据中“水站诚信度”超过$91\%$的数据的个数，求随机变量$X$的分布列和期望；
$(3)$已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．

难度：较易

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3．
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训$.$现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取$8$次$.$记录如下：
甲：$82$ $81$ $79$ $78$ $95$ $88$ $93$ $84$
乙：$92$ $95$ $80$ $75$ $83$ $80$ $90$ $85$
$(1)$画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；
$(2)$现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请说明理由．

难度：较易

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4．
汽车业是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从$2012$年开始，将对二氧化碳排放量超过$130g/km$的$M_{1}$型汽车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类$M_{1}$型品牌汽车各抽取$5$辆进行二氧化碳排放量检测，记录如下$($单位：$g/km)$

甲 $80$ $110$ $120$ $140$ $150$

乙 $100$ $120$ $x$ $100$ $160$

经测算发现，乙品牌$M_{1}$型汽车二氧化碳排放量的平均值为 $ \overline {x_{{乙}}}=120g/km$
$($Ⅰ$)$从被检测的$5$辆甲类$M_{1}$型品牌车中任取$2$辆，则至少有$1$辆二氧化碳排放量超过$130g/km$的概率是多少？
$($Ⅱ$)$求表中$x$的值，并比较甲、乙两品牌$M_{1}$型汽车二氧化碳排放量的稳定性．
$(s^{2}= \dfrac {1}{n}[( \overline {x}-x_{1})^{2}+( \overline {x}-x_{2})^{2}+…+( \overline {x}-x_{n})^{2}]$其中，$ \overline {x}$表示的平均数，$n$表示样本的数量，$x_{i}$表示个体，$s^{2}$表示方差$)$

难度：易

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5．
某大型超市在$2018$年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有$3$个红球，$3$个黄球和$1$个蓝球$($这些小球除颜色外大小形状完全相同$)$，从中随机一次性取$3$个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱$.$活动另附说明如下：
$①$凡购物满$100($含$100)$元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会；
$②$凡购物满$188($含$188)$元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会；
$③$若取得的$3$个小球只有$1$种颜色，则该顾客中得一等奖，奖金是一个$10$元的红包；
$④$若取得的$3$个小球有$3$种颜色，则该顾客中得二等奖，奖金是一个$5$元的红包；
$⑤$若取得的$3$个小球只有$2$种颜色，则该顾客中得三等奖，奖金是一个$2$元的红包．
抽奖活动的组织者记录了该超市前$20$位顾客的购物消费数据$($单位：元$)$，绘制得到如图所示的茎叶图．
$(1)$求这$20$位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数$($结果精确到整数部分$)$；
$(2)$记一次抽奖获得的红包奖金数$($单位：元$)$为$X$，求$X$的分布列及数学期望，并计算这$20$位顾客$($假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖$)$在抽奖中获得红包的总奖金数的平均值．

难度：较易

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6．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84
乙：92 95 80 77 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；
（Ⅱ）经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为 $%20%5Coverline%20%7Bx_%7B%5Ctext%7B%E7%94%B2%7D%7D%7D$ =85， $%20%5Coverline%20%7Bx_%7B%5Ctext%7B%E4%B9%99%7D%7D%7D$ =85.25，乙的方差为S_乙²≈36.4，现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加较合适？请说明理由；
（Ⅲ）从甲、乙不低于85分的成绩中各抽取一次成绩，求甲学生成绩高于乙学生成绩的概率．
（参考公式：S²= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7Bn%7D$ [（x₁- $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²+（x₂- $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²+…+（x_n- $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）²]）

难度：易

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7．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图．

（Ⅰ）试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；
（Ⅱ）根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答以下问题：
（ⅰ）能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%？
（ⅱ）如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？并说明理由．

难度：较易

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8．

人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：

幸福感指数	[0，2）	[2，4）	[4，6）	[6，8）	[8，10]
男居民人数	10	20	220	125	125
女居民人数	10	10	180	175	125

根据表格，解答下面的问题：
（Ⅰ）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；
（Ⅱ）如果居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．

难度：较易

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9． 2013年国庆期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），[100，105），[105，110）后得到如下图的频率分布直方图．
（1）此调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？
（2）求这40辆小型车辆车速的中位数的估计值；
（3）若从车速在[80，90）的车辆中任抽取3辆，求抽出的3辆车中车速在[85，90）的车辆数ξ的分布列及数学期望．

难度：较易

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10．某企业自行设计了两条某种大型设备的生产线，分别称为1号线和2号线，经过两年的运行，每条生产线生产一台合格的该大型设备的时间数据统计如下表：

时间（天）	15～25	25～35	35～45	45～55	55～65
1号线生产一台合格的该大型设备的频率	0.1	0.15	0.45	0.2	0.1
1号线生产一台合格的该大型设备的频率	0	0.25	0.4	0.3	0.05

其中m～n表示生产一台合格的该大型设备的时间大于m天而不超过n天，m，n为正整数．
（Ⅰ）现该企业接到甲、乙两公司各一个订单，每个公司需要生产一台合格的该大型设备，甲、乙两公司要求交货时间分别为不超过45天和55天，为了尽最大可能在甲、乙两公司订单要求的时间内交货，该企业应如何选择生产甲、乙两公司订购的该大型设备的生产线；

（Ⅱ）该企业生产的这种大型设备的质量，以其质量等级系数t来衡量，t的值越大表明质量越好，如图是两条生产线生产的6台合格的该大型设备的质量等级系数的茎叶图，
试从质量等级系数的平均数和方差的角度对该企业的两条生产线生产的这种合格的大型设备的质量做出分析．
附：方差S2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…(xn-

)2]，其中

为x₁，x₂，…x_n的平均数．

难度：中等

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	第一周	第二周	第三周	第四周
第一个周期	\(95\%\)	\(98\%\)	\(92\%\)	\(88\%\)
第二个周期	\(94\%\)	\(94\%\)	\(83\%\)	\(80\%\)
第三个周期	\(85\%\)	\(92\%\)	\(95\%\)	\(96\%\)

甲	\(80\)	\(110\)	\(120\)	\(140\)	\(150\)
乙	\(100\)	\(120\)	\(x\)	\(100\)	\(160\)