知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
某地电影院为了了解当地影迷对快要上映的一部电影的票价的看法，进行了一次调研，得到了票价$x($单位：元$)$与渴望观影人数$y($单位：万人$)$的结果如下表：

$x$$($单位：元$)$

$30$

$40$

$50$

$60$

$y$$($单位：万人$)$

$4.5$

$4$

$3$

$2.5$

$(1)$若$y$与$x$具有较强的相关关系，试分析$y$与$x$之间是正相关还是负相关；
$(2)$请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出$y$关于$x$的线性回归方程；
$(3)$根据$(2)$中求出的线性回归方程，预测票价定为多少元时，能获得最大票房收入．
参考公式：$\hat{b}$$=$$ \dfrac{\sum_{^{i=1}}^{_{n}}x_{i}y_{i}-n\left. \overline{x} \right.\left. \overline{y} \right.}{\sum_{^{i=1}}^{_{n}}x\rlap{_{i}}{^{2}}-n\overline{x}^{2}}$，$\hat{a}$$=$$\overline{y}$$-$$\hat{b}\overline{x}$．

难度：中等

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2．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长$.$设某地区城乡居民人民币储蓄存款$($年底余额$)$如下表：

年份

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

$2014$

时间代号 $t$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

储蓄存款$y($千亿元$)$

$5$

$6$

$7$

$8$

$10$

$(1)$求$y$关于$t$的回归方程$\hat{y}=\hat{b}t+\hat{a}$．

$(2)$用所求回归方程预测该地区$2015$年$(t=6)$的人民币储蓄存款．

难度：易

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3．
某连锁经营公司所属$5$个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

销售额$x($千万元$)$

$3$

$5$

$6$

$7$

$9$

利润额$y($百万元$)$

$2$

$3$

$3$

$4$

$5$

$(1)$用最小二乘法计算利润额$y$对销售额$x$的回归直线方程；

$(2)$当销售额为$8($千万元$)$时，估计利润额的大小．

$($附：$\overset{\hat{\ }}{{b}}\,=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{2}}}$，$\overset{\hat{\ }}{{a}}\,=\overline{y}-\overset{\hat{\ }}{{b}}\,\overline{x}$，其中$\overline{x}$，$\overline{y}$为样本平均值$)$

难度：中等

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4．
在某次试验中，有两个实验数据$x$，$y$，统计的结果如表格示。

$(1)$在给出的坐标系中画出$x$，$y$的散点图；

$(2)$根据给出的公式，求出$y$对$x$的回归直线方程$ \overset{\}{y} = \overset{\}{b} x+ \overset{\}{a} $，并估计当$x$为$10$时，$y$的值是多少？

$ \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits{x}_{i}{y}_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{ \sum\nolimits{{x}_{i}}^{2}-n{ \bar{x}}^{2}}, \overset{\}{a}= \bar{y}- \overset{\}{b} \bar{x} $

难度：中等

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5．
为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发$《$国家学生体质健康标准$(2014$年修订$)》$，要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的$《$标准$》$测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级$.$某校决定针对高中学生，每学期进行一次体质健康测试，以下是小明同学六个学期体质健康测试的总分情况．

学期 $x$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

总分 $y($分$)$

$512$

$518$

$523$

$528$

$534$

$535$

$(1)$请根据上表提供的数据，用相关系数$r$说明$y$与$x$的线性相关程度，并用最小二乘法求出$y$关于$x$的线性回归方程$($线性相关系数保留两位小数$)$；

$(2)$在第六个学期测试中学校根据 $《$标准$》$，划定$540$分以上为优秀等级，已知小明所在的学习小组$10$个同学有$6$个被评定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的总分，小明随机的给小组内$4$个同学打电话询问对方成绩，优秀的同学有$X$人，求$X$的分布列和期望．

参考公式：$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({x}_{i}- \overset{¯}{x})({y}_{i}- \overset{¯}{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({x}_{i}- \overset{¯}{x}{)}^{2}},\hat {a}= \overset{¯}{y}-\hat {b} \bar{x} $；相关系数$r= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({x}_{i}- \bar{x})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sqrt{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({x}_{i}- \bar{x}) \sum\nolimits_{i=1}^{n}({y}_{i}- \bar{y}{)}^{2}}} $；

参考数据：$\sqrt{7210}≈84.91, \sum\limits_{i=1}^{6}({x}_{i}- \bar{x})({y}_{i}- \bar{y})=84 $．

难度：难

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6．近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，$2012$年年初至$2018$年年初，该地区绿化面积$y$$($单位：平方公里$)$的数据如下表：

$(1)$求$y$关于$t$的线性回归方程；

$(2)$利用$(1)$中的回归方程，预测该地区$2022$年年初的绿化面积，并计算$2017$年年初至$2022$年年初，该地区绿化面积的年平均增长率约为多少．

$($附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为$\hat {b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t})({y}_{i}- \bar{y})}{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}({t}_{i}- \bar{t}{)}^{2}},\hat {a}= \bar{y}-\hat {b} \bar{t} $

$\lg 3\approx 0.477,\lg 2\approx 0.301,{{10}^{0.0352}}\approx 1.084)$

难度：较易

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7．
假设某种设备使用的年限$x($年$)$与所支出的维修费用$y($元$)$有以下统计资料：

使用年限$x$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$

维修费用$y$ $2.2$ $3.8$ $5.5$ $6.5$ $7.0$

参考数据：$ \sum\limits_{i=1}^{5}x_{i}^{2}=90$，$ \sum\limits_{i=1}^{5}x_{i}y_{i}=112.3$，
如果由资料知$y$对$x$呈线性相关关系$.$试求：
$(1) \overset{ .}{x}, \overset{ .}{y}$；
$(2)$线性回归方程$ \overset{\land }{y}=bx+a$．
$(3)$估计使用$10$年时，维修费用是多少？

难度：较易

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8．
随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长$.$设某地区城乡居民人民币储蓄存款$($年底余额$)$如下表：

年份

$2010$

$2011$

$2012$

$2013$

$2014$

时间代号$t$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

储蓄存款$y$$($千亿元$)$

$5$

$6$

$7$

$8$

$10$

$(1)$求$y$关于$t$的回归方程$ \overset{\}{y}= \overset{\}{b}t+ \overset{\}{a} $；

$(2)$用所求回归方程预测该地区$2015$年$($$t$$=6)$的人民币储蓄存款．

难度：难

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9．
通过市场调查，得到某产品的资金投入$x$$($万元$)$与获得的利润$y$$($万元$)$的数据，如下表所示：

资金投入$x$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

利润$y$

$2$

$3$

$5$

$6$

$9$

参考公式：$ \overset{\}{b}= \dfrac{ \sum\nolimits_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-nxy}{ \sum\limits_{i=1}^{n}-n{x}^{2}}, \overset{\}{a}=y- \overset{\}{b}x $

$(1)$画出数据对应的散点图；
$(2)$根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$y=$ $bx$$+$ $a$；
$(3)$现投入资金$10($万元$)$，求估计获得的利润为多少万元．

难度：较易

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10．某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9
利润额y（百万元） 2 3 3 4 5
（1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量有怎样的相关关系；
（2）用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；
（3）当销售额为4（千万元）时，利用（2）的结论估计该零售店的利润额（百万元）．（参考公式 $%20%5Chat%20b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D%29-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D%EF%BC%8C%20%5Chat%20a%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-%20%5Chat%20b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ）

难度：较易

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0/40

进入组卷

\(x\)\((\)单位：元\()\)	\(30\)	\(40\)	\(50\)	\(60\)
\(y\)\((\)单位：万人\()\)	\(4.5\)	\(4\)	\(3\)	\(2.5\)

年份	\(2010\)	\(2011\)	\(2012\)	\(2013\)	\(2014\)
时间代号 \(t\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
储蓄存款\(y(\)千亿元\()\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(10\)

商店名称	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)	\(E\)
销售额\(x(\)千万元\()\)	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(9\)
利润额\(y(\)百万元\()\)	\(2\)	\(3\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)

学期 \(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
总分 \(y(\)分\()\)	\(512\)	\(518\)	\(523\)	\(528\)	\(534\)	\(535\)

使用年限\(x\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
维修费用\(y\)	\(2.2\)	\(3.8\)	\(5.5\)	\(6.5\)	\(7.0\)

资金投入\(x\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
利润\(y\)	\(2\)	\(3\)	\(5\)	\(6\)	\(9\)

商店名称	A	B	C	D	E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9
利润额y（百万元）	2	3	3	4	5