知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

日期	$12$ 月 $1$ 日	$12$ 月 $2$ 日	$12$ 月 $3$ 日	$12$ 月 $4$ 日	$12$ 月 $5$ 日
温差$x$$($$℃$$)$	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$
发芽数$y$$($颗$)$	$23$	$25$	$30$	$26$	$16$

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取$2$组，用剩下的$3$组数据求线性回归方程，再对被选取的$2$组数据进行检验．

$(1)$求选取的$2$组数据恰好是不相邻$2$天数据的概率；

$(2)$若选取的是$12$月$1$日与$12$月$5$日的两组数据，请根据$12$月$2$日至$12$月$4$日的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；

$(3)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问$(2)$中所得到的线性回归方程是否可靠？

难度：较易

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2．
某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份

$2002$

$2004$

$2006$

$2008$

$2010$

需求量

$($万吨$)$

$236$

$246$

$257$

$276$

$286$

$(1)$利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程$\hat{y} =\hat{b} x+\hat{a}$ ；

$(2)$利用$(1)$中所求出的线性回归方程预测该地$2012$年的粮食需求量．

难度：中等

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3．

某公司想了解对某产品投入的宣传费用与该产品的营业额的影响$.$下面是以往公司对该产品的宣传费用$x$ $($单位：万元$)$和产品营业额$y$ $($单位：万元$)$的统计折线图．

$(1)$ 根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用$x$与产品营业额$y$的关系，请用相关系数加以说明；

$(2)$ 建立产品营业额$y$关于宣传费用$x$的归方程；
$(3)$ 若某段时间内产品利润$z$与宣传费$x$和营业额$y$的关系为$z=x\left( y-1.01x-0.09 \right)+50$，应投入宣传费多少万元才能使利润最大，并求最大利润．

参考数据：$\underset{i=1}{\overset{7}{\sum}}\,{{y}_{i}}=37.28$，$\bar{y}=5.33$，$\underset{i=1}{\overset{7}{\sum}}\,{{x}_{i}}{{y}_{i}}=160.68$，$\sqrt{\underset{i=1}{\overset{7}{\sum}}\,{{\left({{y}_{i}}-\bar{y} \right)}^{2}}}=2.2$，$\sqrt{7}\approx 2.64$

参考公式：相关系数，$r=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}^{2}}}}=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}^{2}}}}$，

回归方程$y=\hat{a}+\hat{b}x$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\hat{b}=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)\left( {{y}_{i}}-\bar{y} \right)}{{\sum }_{i=1}^{n}{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}=\dfrac{{\sum }_{i=1}^{n}{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}{{\sum }_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}.($计算结果保留两位小数$)$

难度：中等

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4．
$(1)$下列四个命题正确的是__________

$①$线性相关系数$r$越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱

$②$残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

$③$用相关指数${{R}^{2}}$来刻画回归效果，${{R}^{2}}$越小，说明模拟效果越好

$④$实数$a,b$满足${{(\dfrac{1}{2})}^{a}}={{(\dfrac{1}{3})}^{b}}$，则有$a=b$或$0 < b < a$

$(2)$某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区$5$户家庭，得到如下统计数据表：

收入$x/$万元

$8.2$

$8.6$

$10.0$

$11.3$

$11.9$

支出$y/$万元

$6.2$

$7.5$

$8.0$

$8.5$

$9.8$

可得回归直线方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\hat{b}=0.76$，据此估计，该社区一户年收入为$15$万元家庭的年支出为____．

$(3)$设直线$x=-\dfrac{{{a}^{2}}}{c}$ 与双曲线的两条渐近线交于$A$，$B$两点，左焦点在以$AB$为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为________．

$(4)$已知函数$f\left( x \right)=4{{{e}}^{x}}(x+1)-k\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+2{{x}^{2}} \right)$，若$x=-2$是$f\left( x \right)$的唯一的极值点，则实数$k$的取值范围为______．

难度：较难

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5．

如表是某厂$1-4$月份用水量$($单位：百吨$)$的一组数据：由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是$\hat {y} =-0.7x+\hat {a} $，则$\hat {a} =($　　$)$

月份$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
用水量$y$	$4.5$	$4$	$3$	$2.5$

A．$10.5$

B．$5.15$

C．$5.25$

D．$5.2$

难度：易

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6．

某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在$4$月份的$30$天中随机挑选了$5$天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每$100$颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：

日期	$4$月$1$日	$4$月$7$日	$4$月$15$日	$4$月$21$日	$4$月$30$日
温差$x/℃$	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$
发芽数$y/$颗	$23$	$25$	$30$	$26$	$16$

$(1)$从这$5$天中任选$2$天，若选取的是$4$月$1$日与$4$月$30$日的两组数据，请根据这$5$天中的另三天的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$\widehat{y}=\widehat{b}x+\widehat{a}$；

$(2)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问$(1)$中所得的线性回归方程是否可靠？

$($参考公式：$\widehat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}{{y}_{i}}-n\overline{xy}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}-n{{\overline{x}}^{_{2}}}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x})$

$($参考数据：$\sum\limits_{i=1}^{3}{{{x}_{i}}}{{y}_{i}}=977$，$\sum\limits_{i=1}^{3}{x_{i}^{2}}=434)$

难度：中等

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7．
某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店$1$月份中$5$天的日销售量$y($单位：千克$)$与该地当日最低气温$x($单位：${{ }}^{{∘}}C)$的数据，如下表：

$x$

$2$

$5$

$8$

$9$

$11$

$y$

$12$

$10$

$8$

$8$

$7$

$(1)$求出$y$与$x$的回归方程$\hat{y}{=}\hat{b}x{+}\hat{a}$；
$(2)$判断$y$与$x$之间是正相关还是负相关；若该地$1$月份某天的最低气温为$6^{{∘}}C$，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
$(3)$设该地$1$月份的日最低气温$X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})$，其中$\mu$近似为样本平均数$\overset{{.}}{x}$，$\sigma^{2}$近似为样本方差$s^{2}$，求$P(3{.}8{ < }X{ < }13{.}4)$．
附：${①}$回归方程$\hat{y}{=}\hat{b}x{+}\hat{a}$中，$\hat{b}{=}\dfrac{\sum_{i{=}1}^{n}(x_{i}y_{i}){-}n\overset{{.}}{x\overset{{.}}{y}}}{\sum_{i{=}1}^{n}x_{i}^{2}{-}n(\overset{{.}}{x})^{2}}$，$\hat{a}{=}\overset{{.}}{y}{-}\hat{b}\overset{{.}}{x}$．
${②}\sqrt{10}{≈}3{.}2$，$\sqrt{3{.}2}{≈}1{.}8{.}$若$X{～}N(\mu{,}\sigma^{2})$，则$P(\mu{-}\sigma{ < }X{ < }\mu{+}\sigma){=}0{.}6826$，$P(\mu{-}2\sigma{ < }X{ < }\mu{+}2\sigma){=}0{.}9544$．

难度：易

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8．

某商品的销售量$y($件$)$与销售价格$x($元$/$件$)$存在线性相关关系$.$根据一组样本数据$(x_{i},y_{i})(i=1,2,…,n)$，用最小二乘法建立的回归方程为$\hat{y}=-5x+150$，则下列结论正确的是$($　　$)$

A．$y$与$x$具有正的线性相关关系

B．若$r$表示$y$与$x$之间的线性相关系数，则$r=-5$

C．当销售价格为$10$元时，销售量为$100$件

D．当销售价格为$10$元时，销售量为$100$件左右

难度：易

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9．
在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在$S$市的$A$区开设分店$.$为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格$.$记$x$表示在各区开设分店的个数，$y$表示这$x$个分店的年收入之和．

$x$$($个$)$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

$y$$($百万元$)$

$2.5$

$3$

$4$

$4.5$

$6$

$(1)$该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 $y$与 $x$的关系，求 $y$关于 $x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；
$(2)$假设该公司在$A$区获得的总年利润$z($单位：百万元$)$与 $x$， $y$之间的关系为$z=y-0.05{{x}^{2}}-1.4$，请结合$($Ⅰ$)$中的线性回归方程，估算该公司应在$A$区开设多少个分店时，才能使$A$区平均每个分店的年利润最大？
参考公式：$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{y}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{b}x+\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{a}$，$\hat{b}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}-n\bar{x}\bar{y}}}{\sum\limits_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}-n{{{\bar{x}}}^{2}}}}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$

难度：较难

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10．
某车间为了规定工时定额，需要确定加个某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：

零件的个数$x($个$)$ $2$ $3$ $4$ $5$

加工的时间$y($小时$)$ $2.5$ $3$ $4$ $4.5$

$(1)$求出$y$关于$x$的线性回归方程；
$(2)$试预测加工$10$个零件需要多少时间？${注}：b= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overline {x}\cdot \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n} x_{ i }^{ 2 }-n \overline {x}^{2}},a= \overline {y}-b \overline {x}$．

难度：较易

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日期	\(12\) 月 \(1\) 日	\(12\) 月 \(2\) 日	\(12\) 月 \(3\) 日	\(12\) 月 \(4\) 日	\(12\) 月 \(5\) 日
温差\(x\)\((\)\(℃\)\()\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)
发芽数\(y\)\((\)颗\()\)	\(23\)	\(25\)	\(30\)	\(26\)	\(16\)

年份	\(2002\)	\(2004\)	\(2006\)	\(2008\)	\(2010\)
需求量
\((\)万吨\()\)	\(236\)	\(246\)	\(257\)	\(276\)	\(286\)

收入\(x/\)万元	\(8.2\)	\(8.6\)	\(10.0\)	\(11.3\)	\(11.9\)
支出\(y/\)万元	\(6.2\)	\(7.5\)	\(8.0\)	\(8.5\)	\(9.8\)

月份\(x\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
用水量\(y\)	\(4.5\)	\(4\)	\(3\)	\(2.5\)

日期	\(4\)月\(1\)日	\(4\)月\(7\)日	\(4\)月\(15\)日	\(4\)月\(21\)日	\(4\)月\(30\)日
温差\(x/℃\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)
发芽数\(y/\)颗	\(23\)	\(25\)	\(30\)	\(26\)	\(16\)

\(x\)	\(2\)	\(5\)	\(8\)	\(9\)	\(11\)
\(y\)	\(12\)	\(10\)	\(8\)	\(8\)	\(7\)

\(x\)\((\)个\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)
\(y\)\((\)百万元\()\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)	\(6\)

零件的个数\(x(\)个\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
加工的时间\(y(\)小时\()\)	\(2.5\)	\(3\)	\(4\)	\(4.5\)