知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
一只药用昆虫的产卵数$y$与一定范围内的温度$x$有关，现收集了该种药用昆虫的$6$组观测数据如表：

温度$x/^{\circ}C$ $21$ $23$ $24$ $27$ $29$ $32$

产卵数$y/$个 $6$ $11$ $20$ $27$ $57$ $77$

经计算得：$ \overline {x}= \dfrac {1}{6} \sum\limits_{i=1}^{6}x_{i}=26$，$ \overline {y}= \dfrac {1}{6} \sum\limits_{i=1}^{6}y_{i}=33$，$ \sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})=557$，$ \sum\limits_{i=1}^{6}(x_{i}- \overline {x})^{2}=84$，$ \sum\limits_{i=1}^{6}(y_{i}- \overline {y})^{2}=3930$，线性回归模型的残差平方和$ \sum\limits_{i=1}^{6}(y_{i}- \overset{\hat{} }{y}_{i})^{2}=236.64$，$e^{8.0605}≈3167$，其中$x_{i}$，$y_{i}$分别为观测数据中的温度和产卵数，$i=1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$．
$($Ⅰ$)$若用线性回归模型，求$y$关于$x$的回归方程$ \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}($精确到$0.1)$；
$($Ⅱ$)$若用非线性回归模型求得$y$关于$x$的回归方程为$ \overset{\hat{} }{y}=0.06e^{0.2303x}$，且相关指数$R^{2}=0.9522$．
$($ $i$ $)$试与$($Ⅰ$)$中的回归模型相比，用$R^{2}$说明哪种模型的拟合效果更好．
$(ii)$用拟合效果好的模型预测温度为$35^{\circ}C$时该种药用昆虫的产卵数$($结果取整数$)$．
附：一组数据$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$…$，$(x_{n},y_{n})$，其回归直线$ \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}$的斜率和截距的最小二乘估计为$ \overset{\hat{} }{b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})(y_{i}- \overline {y})}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}$，$ \overset{\hat{} }{a}= \overline {y}- \overset{\hat{} }{b} \overline {x}$；相关指数$R^{2}=1- \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overset{\hat{} }{y}_{i})^{2}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i}- \overline {y})^{2}}$．

难度：难

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2．
为促进农业发展，加快农村建设，某地政府扶持兴建了一批“超级蔬菜大棚”$.$为了解大棚的面积与年利润之间的关系，随机抽取了其中的$7$个大棚，并对当年的利润进行统计整理后得到了如下数据对比表：

大棚面积$($亩$)x$ $4.5$ $5.0$ $5.5$ $6.0$ $6.5$ $7.0$ $7.5$

年利润$($万元$)y$ $6$ $7$ $7.4$ $8.1$ $8.9$ $9.6$ $11.1$

由所给数据的散点图可以看出，各样本点都分布在一条直线附近，并且$y$与$x$有很强的线性相关关系．
$($Ⅰ$)$求$y$关于$x$的线性回归方程；
$($Ⅱ$)$小明家的“超级蔬菜大棚”面积为$8.0$亩，估计小明家的大棚当年的利润为多少；
$($Ⅲ$)$另外调查了近$5$年的不同蔬菜亩平均利润$($单位：万元$)$，其中无丝豆为：$1.5$，$1.7$，$2.1$，$2.2$，$2.5$；彩椒为：$1.8$，$1.9$，$1.9$，$2.2$，$2.2$，请分析种植哪种蔬菜比较好？
参考数据：$ \sum\limits_{i=1}^{7}x_{i}y_{i}=359.6$，$ \sum\limits_{i=1}^{7}(x_{i}- \overline {x})^{2}=7$．
参考公式：$ \hat {b}= \dfrac { \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n \overline {x} \overline {y}}{ \sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}- \overline {x})^{2}}$，$ \hat {a}= \overline {y}- \hat {b} \overline {x}$．

难度：较易

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3．
某地大力发展旅游业，如图是自$2013$年开始，到该地旅游的人数的折线图．

$($Ⅰ$)$试判断每年的旅游人数$y$与年的序号$t$之间是否具有线性相关关系；
$($Ⅱ$)$若$y$与$t$之间的线性回归方程是$ \overset{\land }{y}=15t+ \overset{\land }{a}$，求$ \overset{\land }{a}$，丙据此预报$2018$年到该地旅游的人数大约是多少．
$($Ⅲ$)$该地自$2016$年开始出台了刺激旅游的政策，规定来本地旅游的游客，旅游不超过$3$天这，每人补贴$100$元，超过$3$天，不超过$5$天者，每人补贴$300$元，超过$5$天者，每人补贴$500$元，$2016$年底对本年的旅游情况进行了统计，结果如下：

旅游天数 $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$

人数$($万$)$ $30$ $40$ $60$ $80$ $50$ $20$

$2017$延续了此补贴政策，结果游客人数持续增加，但游客旅游天数的频率基本保持不变，据此估算$2018$年对该地旅游政策补贴大约需要预算多少钱？

难度：较易

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4．某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y（单位：元）与印刷册数x（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：

印刷册数（千册）	2	3	4	5	8
单册成本（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By%7D%5E%7B%281%29%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Bx%7D%2B1.1$ ，方程乙： $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%5E%7B%282%29%7D%7D%7By%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B6.4%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D%2B1.6$ ．
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
①完成下表（计算结果精确到0.1）；

印刷册数x（千册）		2	3	4	5	8
单册成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By_%7Bi%7D%7D%5E%7B%281%29%7D$		2.4	2.1		1.6
模型甲	残差 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Be_%7Bi%7D%7D%5E%7B%281%29%7D$		0	-0.1		0.1
模型乙	估计值 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7By_%7Bi%7D%7D%5E%7B%282%29%7D$		2.3	2	1.9
模型乙	残差 $%20%5Coverset%7B%5Cland%20%7D%7Be_%7Bi%7D%7D%5E%7B%282%29%7D$		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂，并通过比较Q₁，Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）

难度：较易

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5．

对两个变量$x$、$y$进行线性回归分析，计算得到相关系数$r=-0.9962$，则下列说法中正确的是$($　　$)$

A．$x$与$y$正相关

B．$x$与$y$具有较强的线性相关关系

C．$x$与$y$几乎不具有线性相关关系

D．$x$与$y$的线性相关关系还需进一步确定

难度：较易

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6．

设某中学的高中女生体重$y($单位：$kg)$与身高$x($单位：$cm)$具有线性相关关系，根据一组样本数据$(x_{i},y_{i})(i=1,2,3,…,n)$，用最小二乘法近似得到回归直线方程为$ \overset{\hat{} }{y}=0.85x-85.71$，则下列结论中不正确的是$($　　$)$

A．$y$与$x$具有正线性相关关系

B．回归直线过样本的中心点$( \overset{ .}{x}, \overset{ .}{y})$

C．若该中学某高中女生身高增加$1cm$，则其体重约增加$0.85kg$

D．若该中学某高中女生身高为$160cm$，则可断定其体重必为$50.29kg$

难度：较易

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7．

某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本$y($单位：元$)$与印刷册数$x($单位：千册$)$之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：

印刷册数 $($千册$)$	$2$	$3$	$4$	$5$	$8$
单册成本 $($元$)$	$3.2$	$2.4$	$2$	$1.9$	$1.7$

根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：$ \overset{\land }{y}^{(1)}= \dfrac {4}{x}+1.1$，方程乙：$ \overset{\land ^{(2)}}{y}= \dfrac {6.4}{x^{2}}+1.6$．
$(1)$为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
$①$完成下表$($计算结果精确到$0.1)$；

印刷册数$x($千册$)$		$2$	$3$	$4$	$5$	$8$
单册成本$y($元$)$		$3.2$	$2.4$	$2$	$1.9$	$1.7$
模型甲	估计值$ \overset{\land }{y_{i}}^{(1)}$		$2.4$	$2.1$		$1.6$
模型甲	残差$ \overset{\land }{e_{i}}^{(1)}$		$0$	$-0.1$		$0.1$
模型乙	估计值$ \overset{\land }{y_{i}}^{(2)}$		$2.3$	$2$	$1.9$
模型乙	残差$ \overset{\land }{e_{i}}^{(2)}$		$0.1$	$0$	$0$

$②$分别计算模型甲与模型乙的残差平方和$Q_{1}$及$Q_{2}$，并通过比较$Q_{1}$，$Q_{2}$的大小，判断哪个模型拟合效果更好．
$(2)$该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷$.$根据市场调查，新需求量为$8$千册$($概率$0.8)$或$10$千册$($概率$0.2)$，若印刷厂以每册$5$元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷$8$千册还是$10$千册能获得更多利润？$($按$(1)$中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本$)$

难度：较易

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8．

下列说法错误的是$($　　$)$

A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系

B．线性回归方程对应的直线$ \overset{\hat{} }{y}= \overset{\hat{} }{b}x+ \overset{\hat{} }{a}$，至少经过其样本数据点$(x_{1},y_{1})$，$(x_{2},y_{2})$，$…$，$(x_{n},y_{n})$中的一个点

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．在回归分析中，$R^{2}$为$0.98$的模型比$R^{2}$为$0.80$的模型拟合的效果好

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9．

某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了$12$月$1$日至$12$月$5$日的每天昼夜温差与实验室每天每$100$颗种子中的发芽数，得到如下资料：

日期	$12$月$1$日	$12$月$2$日	$12$月$3$日	$12$月$4$日	$12$月$5$日
温差$x(^{\circ}C)$	$10$	$11$	$13$	$12$	$8$
发芽数$y($颗$)$	$23$	$25$	$30$	$26$	$16$

该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取$2$组，用剩下的$3$组数据求线性回归方程，再对被选取的$2$组数据进行检验．
$(1)$求选取的$2$组数据恰好是不相邻$2$天数据的概率；
$(2)$若选取的是$12$月$1$日与$12$月$5$日的两组数据，请根据$12$月$2$日至$12$月$4$日的数据，求出$y$关于$x$的线性回归方程$ \hat {y}=bx+a$；
$(3)$若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过$2$颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问$(2)$中所得的线性回归方程是否可靠？

难度：较易

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10．

$2015$男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以$9$连胜的不败战绩赢得第$28$届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一$1$张直通里约奥运会的入场券$.$赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛$MVP($最有价值球员$)$，如表是易建联在这$9$场比赛中投篮的统计数据．

比分	易建联技术统计
比分	投篮命中	罚球命中	全场得分	真实得分率
中国$91-42$新加坡	$3/7$	$6/7$	$12$	$59.52\%$
中国$76-73$韩国	$7/13$	$6/8$	$20$	$60.53\%$
中国$84-67$约旦	$12/20$	$2/5$	$26$	$58.56\%$
中国$75-62$哈萨克期坦	$5/7$	$5/5$	$15$	$81.52\%$
中国$90-72$黎巴嫩	$7/11$	$5/5$	$19$	$71.97\%$
中国$85-69$卡塔尔	$4/10$	$4/4$	$13$	$55.27\%$
中国$104-58$印度	$8/12$	$5/5$	$21$	$73.94\%$
中国$70-57$伊朗	$5/10$	$2/4$	$13$	$55.27\%$
中国$78-67$菲律宾	$4/14$	$3/6$	$11$	$33.05\%$

注：$(1)$表中$a/b$表示出手$b$次命中$a$次；
$(2)TS\%($真实得分率$)$是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
$TS\%= \dfrac {{全场得分}}{2\times ({投篮出手次数}+0.44\times {罚球出手次数})}$．
$($Ⅰ$)$从上述$9$场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中$TS\%$超过$50\%$的概率；
$($Ⅱ$)$从上述$9$场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中$TS\%$至少有一场超过$60\%$的概率；
$($Ⅲ$)$用$x$来表示易建联某场的得分，用$y$来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断$y$与$x$之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．

难度：较易

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0/40

进入组卷

温度\(x/^{\circ}C\)	\(21\)	\(23\)	\(24\)	\(27\)	\(29\)	\(32\)
产卵数\(y/\)个	\(6\)	\(11\)	\(20\)	\(27\)	\(57\)	\(77\)

大棚面积\((\)亩\()x\)	\(4.5\)	\(5.0\)	\(5.5\)	\(6.0\)	\(6.5\)	\(7.0\)	\(7.5\)
年利润\((\)万元\()y\)	\(6\)	\(7\)	\(7.4\)	\(8.1\)	\(8.9\)	\(9.6\)	\(11.1\)

旅游天数	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)
人数\((\)万\()\)	\(30\)	\(40\)	\(60\)	\(80\)	\(50\)	\(20\)

印刷册数 \((\)千册\()\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(8\)
单册成本 \((\)元\()\)	\(3.2\)	\(2.4\)	\(2\)	\(1.9\)	\(1.7\)

印刷册数\(x(\)千册\()\)		\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(8\)
单册成本\(y(\)元\()\)		\(3.2\)	\(2.4\)	\(2\)	\(1.9\)	\(1.7\)
模型甲	估计值\( \overset{\land }{y_{i}}^{(1)}\)		\(2.4\)	\(2.1\)		\(1.6\)
模型甲	残差\( \overset{\land }{e_{i}}^{(1)}\)		\(0\)	\(-0.1\)		\(0.1\)
模型乙	估计值\( \overset{\land }{y_{i}}^{(2)}\)		\(2.3\)	\(2\)	\(1.9\)
模型乙	残差\( \overset{\land }{e_{i}}^{(2)}\)		\(0.1\)	\(0\)	\(0\)

日期	\(12\)月\(1\)日	\(12\)月\(2\)日	\(12\)月\(3\)日	\(12\)月\(4\)日	\(12\)月\(5\)日
温差\(x(^{\circ}C)\)	\(10\)	\(11\)	\(13\)	\(12\)	\(8\)
发芽数\(y(\)颗\()\)	\(23\)	\(25\)	\(30\)	\(26\)	\(16\)

比分	易建联技术统计
比分	投篮命中	罚球命中	全场得分	真实得分率
中国\(91-42\)新加坡	\(3/7\)	\(6/7\)	\(12\)	\(59.52\%\)
中国\(76-73\)韩国	\(7/13\)	\(6/8\)	\(20\)	\(60.53\%\)
中国\(84-67\)约旦	\(12/20\)	\(2/5\)	\(26\)	\(58.56\%\)
中国\(75-62\)哈萨克期坦	\(5/7\)	\(5/5\)	\(15\)	\(81.52\%\)
中国\(90-72\)黎巴嫩	\(7/11\)	\(5/5\)	\(19\)	\(71.97\%\)
中国\(85-69\)卡塔尔	\(4/10\)	\(4/4\)	\(13\)	\(55.27\%\)
中国\(104-58\)印度	\(8/12\)	\(5/5\)	\(21\)	\(73.94\%\)
中国\(70-57\)伊朗	\(5/10\)	\(2/4\)	\(13\)	\(55.27\%\)
中国\(78-67\)菲律宾	\(4/14\)	\(3/6\)	\(11\)	\(33.05\%\)