知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

适逢暑假，小王在某小区调查了50户居民由于洪灾造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）小王向班级同学发出为该小区居民捐款的倡议．若先从损失超过6000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，求这2户不在同一分组的概率；
（Ⅱ）洪灾过后小区居委会号召小区居民为洪灾重灾区捐款，小王调查的50户居民的捐款情况如表，在表格空白处填写正确的数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

	经济损失不超过4000元	经济损失超过4000元	合计
捐款超过500元	30	______	______
捐款不超过500元	______	6	______
合计	______	______	______

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式：K²= $%20%5Cfrac%20%7Bn%28ad-bc%29%5E%7B2%7D%7D%7B%28a%2Bb%29%28c%2Bd%29%28a%2Bc%29%28b%2Bd%29%7D$ （其中n=a+b+c+d为样本容量）．

难度：较易

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2． 1950～1958年我国的人口数据资料：

年份 x	1950	1951	1952	1953	1954	1955	1956	1957	1958
人数 Y/万人	55 196	56 300	57 482	58 796	60 266	61 560	62 828	64 563	65 994

求 y 关于 x 的非线性回归方程．

难度：较易

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3．

2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．

比分	易建联技术统计
比分	投篮命中	罚球命中	全场得分	真实得分率
中国91-42新加坡	3/7	6/7	12	59.52%
中国76-73韩国	7/13	6/8	20	60.53%
中国84-67约旦	12/20	2/5	26	58.56%
中国75-62哈萨克期坦	5/7	5/5	15	81.52%
中国90-72黎巴嫩	7/11	5/5	19	71.97%
中国85-69卡塔尔	4/10	4/4	13	55.27%
中国104-58印度	8/12	5/5	21	73.94%
中国70-57伊朗	5/10	2/4	13	55.27%
中国78-67菲律宾	4/14	3/6	11	33.05%

注：（1）表中a/b表示出手b次命中a次；
（2）TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：
TS%= $%20%5Cfrac%20%7B%5Ctext%7B%E5%85%A8%E5%9C%BA%E5%BE%97%E5%88%86%7D%7D%7B2%5Ctimes%20%28%5Ctext%7B%E6%8A%95%E7%AF%AE%E5%87%BA%E6%89%8B%E6%AC%A1%E6%95%B0%7D%2B0.44%5Ctimes%20%5Ctext%7B%E7%BD%9A%E7%90%83%E5%87%BA%E6%89%8B%E6%AC%A1%E6%95%B0%7D%29%7D$ ．
（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；
（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；
（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．

难度：较易

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4．有5名学生的数学和化学成绩如表所示：
学生学科 A B C D E
数学成绩（x） 88 76 73 66 63
化学成绩（y） 78 65 71 64 61
（1）如果y与x具有相关关系，求线性回归方程；
（2）预测如果某学生数学成绩为79分，他的化学成绩为多少（结果保留整数）？
$%20%CC%82b$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7D%5E%7B2%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ，
$%20%CC%82a$ = $%20%5Coverline%20%7By%7D$ - $%20%CC%82b$ $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ．

难度：易

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5．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差x（°C） 10 11 13 12 8
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25”的概率．
（Ⅱ）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：回归直线的方程是y=bx+a，其中b=
n
i=1
xiyi-n⋅
x
⋅
y
n
i=1
xi 2-n
x2
，a=
y
-b
x
）

难度：中等

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6．研究性学习小组为了解某生活小区居民用水量y（吨）与气温x（℃）之间的关系，随机统计并制作了5天该小区居民用水量与当天气温的对应表：

日期	9月5日	10月3日	10月8日	11月16日	12月21日
气温x（℃）	18	15	11	9	-3
用水量y（吨）	57	46	36	37	24

（Ⅰ）若从这随机统计的5天中任取2天，求这2天中有且只有1天用水量低于40吨的概率（列出所有的基本事件）；
（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程 $%20%CC%82y%3D%20%CC%82bx%2B%20%CC%82a$ 中的 $%20%CC%82b%E2%89%881.4$ ，试求出 $%20%CC%82a$ 的值，并预测当地气温为5℃时，该生活小区的用水量．

难度：较易

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7．一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如表所示：
学生 S₁ S₂ S₃ S₄ S₅
语文（x分） 87 90 91 92 95
英语（y分） 86 89 89 92 94
（1）根据表中数据，求英语分y对语文分x的线性回归方程；
（2）要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ
（附：线性回归方程 $%20%5Chat%20y$ = $%20%5Chat%20b$ x $%2B%20%5Chat%20a$ 中，b= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%28y_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7By%7D%29%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28x_%7Bi%7D-%20%5Coverline%20%7Bx%7D%29%5E%7B2%7D%7D$ ， $%20%5Chat%20a$ = $%20%5Coverline%20%7By%7D$ - $%20%5Chat%20b$ $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ，其中 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverline%20%7By%7D$ 为样本平均值， $%20%5Chat%20b$ ， $%20%5Chat%20a$ 的值的结果保留二位小数．）

难度：较易

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8．已知下表是月份x与y用电量（单位：万度）之间的一组数据：
x 2 3 4 5 6
y 3 4 6 8 9
（1）画出散点图；
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归方程；
（3）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（4）预测12月份的用电量．附：线性回归方程y=bx+a中， $b%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dx_%7Bi%7Dy_%7Bi%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%20%5Coverline%20%7By%7D%7D%7B%20%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%20x_%7B%20i%20%7D%5E%7B%202%20%7D-n%20%5Coverline%20%7Bx%7D%5E%7B2%7D%7D$ ， $a%3D%20%5Coverline%20%7By%7D-b%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ，其中 $%20%5Coverline%20%7Bx%7D$ ， $%20%5Coverline%20%7By%7D$ 为样本平均值，线性回归方程也可写为 $%20%5Chat%20y%3D%20%5Chat%20bx%2B%20%5Chat%20a$ ．

难度：中等

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9．某校高二（6）班学生每周用于数学学习的时间x（单位：小时）与数学成绩y（单位：分）构成如下数据（15，79），（23，97），（16，64），（24，92），（12，58）．求得的回归直线方程为 $%20%5Chat%20y$ =2.5x+ $%20%5Chat%20a$ ，则某同学每周学习20小时，估计数学成绩约为多少分？

难度：较易

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10．已知三点（3，10），（7，20），（11，24）的横坐标x与纵坐标y具有线性关系，则其线性回归方程是．

难度：中等

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