知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设P（n，m）=
n
k=0
(-1)kC
k
n
m
m+k
，Q（n，m）=
C
m
n+m
，其中m，n∈N^*
（1）当m=1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；
（2）对∀m∈N^*，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．

难度：较难

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2．设P（n，m）= $%20%5Csum%5Climits_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7D%28-1%29%5E%7Bk%7DC_%7B%20n%20%7D%5E%7B%20k%20%7D%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7Bm%2Bk%7D$ ，Q（n，m）= $%20C_%7B%20n%2Bm%20%7D%5E%7B%20m%20%7D$ ，其中m，n∈N^*
（1）当m=1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；
（2）对∀m∈N^*，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．

难度：中等

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3．
现有$ \dfrac {n(n+1)}{2}(n\geqslant 2,n∈N^{*})$个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：

设$M_{k}$是第$k$行中的最大数，其中$1\leqslant k\leqslant n$，$k∈N*.$记$M_{1} < M_{2} < … < M_{n}$的概率为$p_{n}$．
$(1)$求$p_{2}$的值；
$(2)$证明：$p_{n} > \dfrac { C_{ n+1 }^{ 2 }}{(n+1)!}$．

难度：较易

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4．
设$P(n,m)= \sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{ n }^{ k } \dfrac {m}{m+k}$，$Q(n,m)= C_{ n+m }^{ m }$，其中$m$，$n∈N^{*}$
$(1)$当$m=1$时，求 $P(n,1)⋅Q(n,1)$的值；
$(2)$对$∀m∈N^{*}$，证明：$P(n,m)⋅Q(n,m)$恒为定值．

难度：中等

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5．
设$n∈N^{*}$，$n\geqslant 3$，$k∈N^{*}$．
$(1)$求值：
$①kC_{n}^{k}-nC_{n-1}^{k-1}$；
$②k^{2}C_{n}^{k}-n(n-1)C_{n-2}^{k-2}-nC_{n-1}^{k-1}(k\geqslant 2)$；
$(2)$化简：$1^{2}C_{n}^{0}+2^{2}C_{n}^{1}+3^{2}C_{n}^{2}+…+(k+1)^{2}C_{n}^{k}+…+(n+1)^{2}C_{n}^{n}$．

难度：较易

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6．
$C \;_{ n }^{ 1 }+3C \;_{ n }^{ 2 }+9C \;_{ n }^{ 3 }+…+3^{n-1}C \;_{ n }^{ n }=$ ______ ．

难度：较易

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