知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知过点P（m，n）的直线l与直线l₀：x+2y+4=0垂直．（Ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，且点P在函数 $\text{[math]}$ 的图像上，求直线l的一般式方程；
（Ⅱ）若点P（m，n）在直线l₀上，判断直线mx+（n﹣1）y+n+5=0是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．

难度：中等

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2．过点P（a，-2）作抛物线C：x²=4y的两条切线，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），证明：x₁x₂+y₁y₂为定值．

难度：较易

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3．已知动圆Q过定点F（0，-1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．
（Ⅰ）求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程；
（Ⅱ）若过F的动直线m交椭圆N于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S₁为△ABC的面积，S₂为△ODE的面积，令Z=S₁S₂，试求Z的取值范围．

难度：较易

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4．如图，已知椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%C2%A0%C2%A0%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 的离心率为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁，F₂为顶点的三角形的周长为 $4%28%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2B1%29$ ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明k₁•k₂=1．

难度：较易

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5．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（Ⅰ）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅱ）设点P在直线l上的射影为点M，点N的坐标为（2，1），求|MN|的取值范围．

难度：中等

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6．已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（-1，0）．
（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值；
（3）设点P在直线l上的射影为点M，N的坐标为（2，1），求线段MN长的取值范围．

难度：中等

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7．已知直线l：kx-y-2-k=0（k∈R）．
（1）证明：直线过l定点；
（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．

难度：较难

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8．已知直线l：cos²θ•x+cos2θ•y-1=0（θ∈R），圆C：x²+y²=1，
（Ⅰ）求证：无论θ为何值，直线l恒过定点P；
（Ⅱ）若直线l与圆C的一个公共点为A，过坐标原点O作PA的垂线，垂足为M，求点M的横坐标的取值范围．

难度：较难

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9．已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）求证：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的两焦点分别为F₁、F₂，|F1F2|=4
2
，离心率e=
2
2
3
．过直线l：x=
a2
c
上任意一点M，引椭圆C的两条切线，切点为A、B．
（1）在圆中有如下结论：“过圆x²+y²=r²上一点P（x₀，y₀）处的切线方程为：x₀x+y₀y=r²”．由上述结论类比得到：“过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一点P（x₀，y₀）处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）．
（2）利用（1）中的结论证明直线AB恒过定点（2
2
，0）；
（3）当点M的纵坐标为1时，求△ABM的面积．

难度：较难

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