知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10．曲线 c₁： $\text{[math]}$ （α为参数）．（Ⅰ）求曲线c₁的普通方程；
（Ⅱ）若点M在曲线C₁上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．

难度：中等

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2．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2．
（1）求正方体各顶点的坐标；
（2）求A₁C的长度．

难度：易

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3．已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB= $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D$ 时，求k的值．
（2）若 $k%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1， $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7B2%7D$ ），求四边形EGFH的面积的最大值．

难度：中等

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4．在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量 $\text{[math]}$ 且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

难度：中等

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5．过双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ 的右焦点F作倾斜角为 $%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D$ 的直线交双曲线于A、B两点，求线段AB的中点C到焦点F的距离．

难度：较易

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6．已知直线l₀：x-y+2=0和圆C：x²+y²+4x-4y+4=0
（Ⅰ）若直线l₀交圆C于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）求过点P（-4，5）的圆的切线方程．

难度：较易

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7．如图，在A，B两城周边有两条直线互相垂直的高速公路l₁，l₂，在点O外交汇，A城到高速公路l₁，l₂的距离分别是30km，20km，B城到高速公路l₁，l₂的距离分别是60km，80km，为了方便居民出行，现要在高速公路l₁或l₂上建造一个高速公路出入口P（不能建造在点O处），经调查，若出入口O建造在高速公路l₁上，A，B两城居民的“不满意度”M₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ （PA+PB），若出入口P建造在高速公路l₂上，A，B两城居民的“不满意度”M₂= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ $%20%5Csqrt%20%7BPA%5E%7B2%7D%2BPB%5E%7B2%7D%7D$ ．
（1）若出入口P建造在高速公路l₁上，求A，B两城居民，“不满意度”的最小值；
（2）试确定出入口P建在高速公路何处，才能使A，B两城居民的，“不满意度”最小？

难度：中等

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8．已知圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，r＞0）与直线x=1相切，圆心C在直线4x-3y=0上，且到直线x-y-1=0的距离为
2
．
（1）求a，b，r的值；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），P是圆C上的任意一点，求|PA|²+|PB|²的最大值与最小值．

难度：较难

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9．已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5），B（-2，-1），C（4，7），求BC边上中线AM的长和AM所在的直线方程．

难度：较易

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10．在平面直角坐标系xOy内有两个定点M（-
6
，0），N（
6
，0），动点P满足|
PM
|+|
PN
|=4
2
，记点P的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）判断是否存在点P，使得|PM|，|MN|，|PN|成等比数列？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设点A，B是曲线C上的两点，且|AB|=
8
3
，求△AOB面积的取值范围．

难度：较难

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