已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

已知在平面直角坐标系\(xOy\)内，两个定点\(A(1,0)\)，\(B(4,0)\)，且满足\(|PB|=2|PA|\)的点\(P(x,y)\)形成的曲线记为\(Γ\)．

\((1)\)求曲线\(Γ\)的方程；

\((3)\)设曲线\(Γ\)分别交\(x\)轴，\(y\)轴的正半轴于\(M\)，\(N\)两点，点\(Q\)是曲线\(Γ\)位于第三象限内的图象上的任意一点，连接\(QN\)交\(x\)轴于点\(E\)，连接\(QM\)交\(y\)轴于点\(F.\)求证：四边形\(MNEF\)的面积为定值．

设椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)上三个点\(M\)，\(N\)和\(T\)，且\(M\)，\(N\)在直线\(x=8\)上的射影分别为\({{M}_{1}},{{N}_{1}}\)．

\((1)\)若直线\(MN\)过原点\(O\)，直线\(MT\)，\(NT\)斜率分别为\({{k}_{1}},{{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值；

\((2)\)若\(M\)，\(N\)不是椭圆长轴的端点，点\(L\)坐标为\(\left( 3,0 \right)\)，\(\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}L\)与\(\Delta MNL\)面积之比为\(5\)，求\(MN\)中点\(K\)的轨迹方程．

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

已知\(A\)、\(B\)、\(C\)为\(\triangle ABC\)的三个内角，向量\(m\)满足\(|m|=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，且\(m=(\sqrt{2}\sin \dfrac{B+C}{2},\cos \dfrac{B-C}{2})\)，若\(A\)最大时，动点\(P\)使得\(|\overrightarrow{PB}|\)、\(|\overrightarrow{BC}|\)、\(|\overrightarrow{PC}|\)成等差数列，则\(\dfrac{|\overrightarrow{PA}|}{|\overrightarrow{BC}|}\)的最大值是

满足条件\(|z-2i|+|z+1|= \sqrt{5}\)的点的轨迹是\((\)　　\()\)

\((1)\)实数\(x\)，\(y\)满足\(\begin{cases}x\leqslant 3 \\ x+y\geqslant 0 \\ x-y-2\geqslant 0\end{cases} \)，则\(z=y-2x\)的最小值为_____．

\((2)\)等比数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和为\(S_{n}\)，\({a}_{1}=- \dfrac{1}{2} \)，若\(\dfrac{{S}_{6}}{{S}_{3}}= \dfrac{7}{8} \)， 则\(a_{2}·a_{4}=\)____．

\((3)\)通常，满分为\(100\)分的试卷，\(60\)分为及格线\(.\)若某次满分为\(100\)分的测试卷，\(100\)人参加测试，将这\(100\)人的卷面分数按照\([24,36)\)，\([36,48)\)，\(...\)，\([84,96]\)分组后绘制的频率分布直方图如图所示\(.\)由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以\(10\)取整”的方法进行换算以提高及格率\((\)实数\(a\)的取整等于不超过\(a\)的最大整数\()\)，如：某位学生卷面\(49\)分，则换算成\(70\)分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为_______．

\((4)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中，\(O\)为坐标原点，动点\(M\)到点\(P(1,0)\)与到点\(Q(4,0)\)的距离之比为\(\dfrac{1}{2} \)，已知点\(A(\sqrt{2} ,0)\)，则\(∠OMA\)的最大值为______．

已知实数\(a\)，\(x\)，\(y\)满足\({a}^{2}+2a+2xy+(a+x-y)i=0 \)，求点\((x,y)\)的轨迹方程