知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB=1．若
AC
=λ
BA
（λ＞0）．
（Ⅰ）求点C的轨迹Г；
（Ⅱ）过点D作轨迹Г的两条切线，切点分别为P，Q，过点D作直线m交轨迹Г于不同的两点E，F，交PQ于点K，问是否存在实数t，使得
1
|DE|
+
1
|DF|
=
t
|DK|
恒成立，并说明理由．

难度：较难

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2．已知动圆过定点(0，
1
2
)，且与直线y=-
1
2
相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q是轨迹C上一点，过Q作圆P：（x-6）²+y²=1的切线，其中A、B是切点，若轨迹C在点Q处的切线与直线AB平行，求直线AB方程．

难度：较难

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3．设抛物线y²=8x的交点为F，定直线l：x=4，P为平面上一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且（
PQ
+
2
PF
）•（（
PQ
-
2
PF
）=0
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）直线l是圆O：x²+y²=r²的任意一条切线，l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．

难度：较难

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4．如图．在四棱锥S一ABCD中，侧棱SA=SB=SC=SD．底面ABcD是菱形．AC与BD交于O点．
（1）求证：AC⊥平面SBD；
（2）若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹．并证明你的结论．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系中，已知动点M到两定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离之和为2
2
，过点F₁作直线与M的轨迹交于A，B两点．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）求△ABF₂的周长．

难度：中等

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6．在直角坐标系xOy中，动点M到F₁（-
3
，0）、F₂（
3
，0）的距离之和是4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设过点P（3，0）的直线l与轨迹C交于点A、B，问是否存在定点Q，使得
QA
•
QB
为定值？若存在，求出点Q的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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7．已知动圆M过点F（0，
1
4
），且与直线4y+1=0相切．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）求与直线2x+y-3=0平行且与M的轨迹相切的直线方程并求切点P的坐际；
（3）若直线1与点M的轨迹相切，l与直线4y+1=0相交于点A，与直线4y-1=0相交于点B，求证：△FAB是等腰三角形．

难度：较难

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8．如图，已知点F（0，p），直线l：y=-p（其中p为常数，且p＞0），M为平面内的动点，过M作l的垂线，垂足为N，且
NM
•
NF
=
FM
•
FN
．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设Q是l上的任意一点，过Q作轨迹C的切线，切点为A、B．
①求证：A、Q、B三点的横坐标成等差数列；
②若Q（-4，-p），AB=20，求P的值．

难度：中等

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9．过圆O：x²+y²=r²（r＞0）上一点M作圆O的切线l与椭圆E：
x2
16
+
y2
36
=1交于点A，B两点．
（1）若点M的坐标为（2，2），r=2
2
，点C的坐标为（4，4），求
CA
•
CB
的值
（2）若r=1，直线l与椭圆E交于C，D两点，且N是线段CD的中点，求中点N的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知AB是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且满足OA⊥OB．
（1）求证：AB两点的横坐标之积，纵坐标之积都为定值；
（2）求证：直线AB过定点；
（3）求AB中点M的轨迹方程．

难度：中等

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