知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2017•上海模拟）某景区欲建造两条圆形观景步道M₁、M₂（宽度忽略不计），如图所示，已知AB⊥AC，AB=AC=AD=60（单位：米），要求圆M₁与AB、AD分别相切于点B、D，圆M₂与AC、AD分别相切于点C、D；
（1）若∠BAD=60°，求圆M₁、M₂的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道M₁与M₂的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆M₁、M₂的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）

难度：中等

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2．过点P(1，
2
)的直线l将圆（x-2）²+y²=8分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= ．

难度：中等

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3．若实数x，y满足x²+y²-2y=0，且（k-1）x-y-3k+5≤0恒成立，则实数k的取值范围为．

难度：中等

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4．已知m＞0，n＞0，若直线（m+1）x+（n+1）y-2=0与圆（x-1）²+（y-1）²=1相切，则m+n的取值范围是．

难度：中等

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5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-2）²+（y+1）²=5，过点P（5，0）且斜率为k的直线l与圆C相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）若弦长|AB|=4，求直线l的方程．

难度：中等

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6．在直角坐标系xOy中，圆C：x²+y²+4x-2y+m=0与直线x-
3
y+
3
-2=0相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C上有两点M，N关于直线x+2y=0对称，且|MN|=2
3
，求直线MN的方程．

难度：中等

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7．已知圆x²+y²=4上任意一点P在x轴上的射影为H，点F满足条件
OH
+
OP
=2
OF
，O为坐标原点．
（1）求点F的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线C交于不同两点A，B，点N时线段AB中点，设射线ON交曲线C于点Q，且
OQ
=
2
ON
，求m和k满足的关系式．

难度：较难

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8．已知圆C与圆D：x²+y²-4x-2y+3=0关于直线4x+2y-5=0．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若点P（2，0），M（0，2），设Q为圆C上一个动点．
①求△QPM面积的最大值，并求出最大值时对应点Q的坐标；
②在①的结论下，过点Q作两条相异直线分别与圆C相交于A，B两点，若直线QA，QB的倾斜角互补，问直线AB与直线PM是否垂直？请说明理由．

难度：较难

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9．已知圆C1：x2+y2+2x-2y-2=0，圆C2：x2+y2-2x=0，直线l：mx+y+m=0（m∈R），设圆C₁与圆C₂相交于M，N
（1）求线段MN的长；
（2）已知点Q为圆C₁上的动点，求S_△QMN的最大值；
（3）已知动点B（0，t），C（0，t-4）（0＜t＜4），直线PB，PC为圆C₂的切线，点P在y轴右边，求△PBC面积的最小值．

难度：中等

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10．下列四个命题：
①m=
2
是两直线2x+my十1=0与mx+y-1=0平行的充分必要条件；②直线y=kx与圆（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=1恒有公共点．③当x＞0且x≠1时，lgx+
1
lgx
≥2；④一椭圆内切于长为6，宽为2的矩形，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估算出椭圆的面积约为 8.16．正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）

难度：较难

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