知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A（2，2）及圆C：x²+y²+4x-8y+4=0．
（Ⅰ）若直线l过点A且被圆C截得的线段长为4
3
，求直线l的方程；
（Ⅱ）由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|，求线段PQ长的最小值．

难度：中等

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2．已知直线l：x+y=1与y轴交于点P，圆O的方程为x²+y²=r²（r＞0）．
（Ⅰ）如果直线l与圆O相切，那么r= ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）
（Ⅱ）如果直线l与圆O交于A，B两点，且
|PA|
|PB|
=
1
2
，求r的值．

难度：中等

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3．已知直线
2
ax+by=
3
（a，b是实数）与圆O：x²+y²=1（O是坐标原点）相交于A，B两点，且△AOB是等边三角形，点P（a，b）是以点M（0，
2
）为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最大值为．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=r²（r＞0），点P为圆O上任意一点（不在坐标轴上），过点P作倾斜角互补的两条直线分别交圆O于另一点A，B．
（1）当直线PA的斜率为2时，
①若点A的坐标为（-
1
5
，-
7
5
），求点P的坐标；
②若点P的横坐标为2，且PA=2PB，求r的值；
（2）当点P在圆O上移动时，求证：直线OP与AB的斜率之积为定值．

难度：中等

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5．若圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9与直线斜率为1的直线m交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，
（1）求直线m的方程；
（2）若过点T（1，3）的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程．

难度：中等

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6．己知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，
（1）求圆C的标准方程；
（2）若点M（x，y）是圆C上的点，
（I）求
y+2
x+2
的取值范围；
（II）求（x+2）²+（y+2）²的最小值．

难度：中等

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7．已知圆C₁的圆心为直线l₁：x-y+1=0与直线l₂：2x+y+2=0的交点，且圆C₁过点（-
1
2
，
3
2
）．
（I）求圆C₁的方程；
（Ⅱ）圆C₂：x²+y²-8x+12=0，已知P（x₀，y₀）为圆C₂上的动点，由点P向圆C₁作两条切线分别交y轴于M，N两点，求|MN|的取值范围．

难度：中等

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8．已知直线l：kx-y-3k=0，圆M：x²+y²-8x-2y+9=0
（1）若k=2，判断直线l与圆M的位置关系；
（2）已知直线l恒经过一个定点，求该定点坐标；
（3）当圆M截l所得弦最短时，求k的值．

难度：中等

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9．（Ⅰ）求经过直线l₁：x+2y-4=0与l₂：2x-y-3=0的交点且平行于直线l₃：2x+y-3=0的直线l的一般式方程．
（Ⅱ）求圆C：x²+y²+2x-4y+1=0的半径和圆心坐标；
（Ⅲ）判断（Ⅰ）中直线l与（Ⅱ）中圆C之间的位置关系．

难度：中等

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10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+8）²+（y+6）²=25和圆C₂：（x-4）²+（y-6）²=25．
（1）若直线1过原点，且被C₂截得的弦长为6，求直线l的方程；
（2）是否存在点P满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和1₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长与直线l₂被圆C₂截得的弦长相等，若存在求出点P的坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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