知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

在直线坐标系$xoy$中，曲线$C_{1}$的参数方程为$\begin{cases} & x=a\cos t \\ & y=1+a\sin t \end{cases}(t$为参数，$a > 0)$。在以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线$C_{2}$：$ρ=4\cos θ$．

$(1)$说明$C_{1}$是哪一种曲线，并将$C_{1}$的方程化为极坐标方程；

$(2)$直线$C_{3}$的极坐标方程为$θ=α_{0}$，其中$α_{0}$满足$\tan α_{0}=2$，若曲线$C_{1}$与$C_{2}$的公共点都在$C_{3}$上，求$a$。

难度：中等

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2．已知圆 $C_%7B1%7D%EF%BC%9Ax%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-4x-2y-5%3D0$ ，圆 $C_%7B2%7D%EF%BC%9Ax%5E%7B2%7D%2By%5E%7B2%7D-6x-y-9%3D0$ ．
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）直线ι过点（4，-4）与圆C₁相交于A，B两点，且 $%7CAB%7C%3D2%20%5Csqrt%20%7B6%7D$ ，求直线ι的方程．

难度：较易

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3．已知圆O₁和圆O₂的极坐标方程分别为ρ=2， $%CF%81%5E%7B2%7D-2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%CF%81cos%28%CE%B8-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%29%3D2$ ．
（1）把圆O₁和圆O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

难度：较易

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4．已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若圆C与圆O：x²+y²=4相交于A，B两点，求直线AB的方程．（用一般式表示）

难度：较易

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5．
已知圆$O_{1}$和圆$O_{2}$的极坐标方程分别为$ρ=2$，$ρ^{2}-2 \sqrt {2}ρ\cos (θ- \dfrac {π}{4})=2$．
$(1)$把圆$O_{1}$和圆$O_{2}$的极坐标方程化为直角坐标方程；
$(2)$求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

难度：中等

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6．

已知$A$，$F$分别是椭圆$C:\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a > b > 0)$的左顶点和右焦点，点$P$为椭圆$C$上一动点，当$PF⊥x$轴时，$|AF|=2|PF|$．

$(1)$求椭圆$C$的离心率；

$(2)$若椭圆$C$上存在点$Q$，使得四边形$AOPQ$是平行四边形$($点$P$在第一象限$)$，求直线$AP$与$OQ$的斜率之积；

$(3)$记圆$O:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\dfrac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$为椭圆$C$的“关联圆”$.$若$b=\sqrt{3}$，过点$P$作椭圆$C$的“关联圆”的两条切线，切点为$M$，$N$，直线$MN$的横、纵截距分别为$m$，$n$，求证：$\dfrac{3}{{{m}^{2}}}+\dfrac{4}{{{n}^{2}}}$为定值．

难度：较难

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7．
已知圆$O$${\,\!}_{1}$和圆$O$${\,\!}_{2}$的极坐标方程为$ρ$$=2$，$ρ$${\,\!}^{2}-2 \sqrt{2}$ $ρ$$\cos \left(\begin{matrix}θ- \dfrac{π}{4}\end{matrix}\right)=2$．

$(1)$把圆$O$${\,\!}_{1}$和圆$O$${\,\!}_{2}$的极坐标方程化为直角坐标方程；

$(2)$求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

难度：较难

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8．
$(1)$一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为$1,2,3.$则此球的表面积为                 ．

$(2)$已知两圆${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10$和${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=10$相交于$A,B$两点，则直线$AB$的方程是                       ．

$(3)$正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为              ．

$(4)$已知抛物线${{y}^{2}}=2px\left( p > 0 \right)$，$F$为其焦点，$l$为其准线，过$F$任作一条直线交抛物线于$A,B$两点，${A}{{'}},{B}{{'}}$分别为$A,B$在$l$上的射影，$M$为${A}{{'}}{B}{{'}}$的中点，给出下列命题：

$①{A}{{'}}F\bot {B}{{'}}F ;$

$②AM\bot BM ;$

$③{A}{{'}}F/\!/BM ;$

$④{A}{{'}}F$与$AM$的交点在$y$轴上$;$

$⑤A{B}{{'}}$与${A}{{'}}B$交于原点．

其中真命题是                     $.($写出所有真命题的序号$)$

难度：难

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9．
已知两圆$C$${\,\!}_{1}$：$x$${\,\!}^{2}+$$y$${\,\!}^{2}-2$$x$$-6$$y$$-1=0$和$C$${\,\!}_{2}$：$x$${\,\!}^{2}+$$y$${\,\!}^{2}-10$$x$$-12$$y$$+45=0$．

$(1)$求证：圆$C$${\,\!}_{1}$和圆$C$${\,\!}_{2}$相交；

$(2)$求圆$C$${\,\!}_{1}$和圆$C$${\,\!}_{2}$的公共弦所在直线的方程和公共弦长．

难度：中等

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10．已知圆C：x²+y²-2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x-4y-15=0．
（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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