知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，|AF₁|=
2
-1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过F₂与椭圆交于M，N两点，求
F1M
•
F1N
取值范围．

难度：中等

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，焦点到相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y=
2
于点Q，求
1
OP2
+
1
OQ2
的值．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（2，
2
）且离心率等于
2
2
，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．

难度：中等

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4．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6；
（2）焦点在x轴上过点（0，2），长轴长为6．

难度：较易

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5．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率e=
2
2
，过C（-1，0）点且斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，且C点分有向线段
AB
所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2）P，Q为椭圆上两动点，满足
OP
•
OQ
=0，探求
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值，并说明理由．

难度：中等

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6．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为
x=acosα
y=bsinα
（α为参数），点M（
6
2
，
1
2
）在曲线C上，且对应的参数α=
π
6
．
（1）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；
（2）过点P（0，2）作斜率为
3
的直线l，交曲线C于A、B两点，求直线l的参数方程及|PA|+|PB|的值．

难度：中等

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