知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（1）求与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ 共渐近线，且过点（3，4）的双曲线的标准方程；
（2）过椭圆 $M%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D%3D1%28a%EF%BC%9Eb%EF%BC%9E0%29$ 右焦点的直线 $x%2By-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%3D0$ 交M于A，B两点，O为坐标原点，P为AB的中点，且OP的斜率为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求椭圆M的方程．

难度：较易

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2．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，且经过点（2，3）．
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程和其渐近线方程；
（Ⅱ）设直线l经过点（0，-1），且斜率为k．求直线l与双曲线C有两个公共点时k的取值范围．

难度：较易

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3．已知A₁，A₂，B₁，B₂分别为双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞b＞0）实轴与虚轴的两个端点，P（4， $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ）为双曲线上一点，且满足k $%C2%A0_%7BA_%7B1%7DP%7D$ •k $%C2%A0_%7BA_%7B2%7DP%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D$ ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点Q（2，2）的直线l与该双曲线有且只有一个公共点，求直线l的方程．

难度：较易

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4．已知双曲线C： $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0．b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，虚轴端点与焦点的距离为 $%20%5Csqrt%20%7B5%7D$ ．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

难度：难

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5．双曲线Γ中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又Γ的实轴长为4，且一条渐近线为y=2x，求双曲线Γ的标准方程．

难度：较易

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6．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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7． A、B、C是我军三个炮兵阵地，A在B的正东方向相距6千米，C在B的北30°西方向，相距4千米，P为敌炮阵地．某时刻，A发现敌炮阵地的某信号，由于B、C比A距P更远，因此，4秒后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度为每秒1千米)．若从A炮击敌阵地P，求炮击的方位角．

难度：中等

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