知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．某校一块空地的轮廓线如图所示，曲线段OM是以O为顶点，ON为对称轴且开口向右的抛物线的一段，已知ON=4（单位：百米），MN=4．现计划在该区域内围出一块矩形地块ABNC作为学生活动区域，其余阴影部分进行绿化建设，其中A在曲线段OM上，C在MN上，B在ON上．
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线段OM所在的抛物线的方程；
（Ⅱ）为降低绿化成本，试确定A的位置，使绿化建设的面积取到最小值，并求出该最小值．

难度：较易

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2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x²=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．

难度：中等

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3．某校同学设计了一个如图所示的“蝴蝶形图案”．其中AC，BD是过抛物线y=x²的两条相互垂直的弦（点A，B在第二象限），且AC，BD交于点 $F%280%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B4%7D%29$ ，点E为y轴上的一点，记∠EFA=α，其中α为锐角：
（1）设线段AF的长为m，将m表示为关于α的函数；
（2）求“蝴蝶形图案”面积的最小值，并指出取最小值时α的大小．

难度：较易

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4．设A，B为曲线C：y= $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

难度：较易

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5．设动点P（x，y）（x≥0）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设D（x₀，2）是曲线C上一点，与两坐标轴都不平行的直线l₁，l₂过点D，且它们的倾斜角互补．若直线l₁，l₂与曲线C的另一交点分别是M，N，证明直线MN的斜率为定值．

难度：中等

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6．如图，M是抛物线上y²=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB．
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程．

难度：较难

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7．在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

难度：中等

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8．在平面直角坐标系xoy中，直线l与抛物线y²=4x相交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）如果直线l过抛物线的焦点，求 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ 的值；
（Ⅱ）如果 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D$ =-4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．

难度：中等

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9．已知抛物线C：y²=2px，点P（-1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．

难度：中等

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10．已知抛物线y²=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点．
（Ⅰ）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（Ⅱ）求△ANB面积的最小值；
（Ⅲ）当点M的坐标为（m，0）（m＞0，且m≠1）．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线NA，NB的斜率是否互为相反数？
②△ANB面积的最小值是多少？

难度：中等

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