知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
3
3
，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
4
3
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，-
1
4
），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．

难度：中等

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2．已知中心在原点的焦点在坐标轴上的椭圆过点M(1，
4
3
2
)，N(-
3
2
2
，
2
)；求
（1）离心率e；
（2）椭圆上是否存在P（x，y）到定点A（a，0）（0＜a＜3）距离的最小值为1？若存在求a及P坐标，若不存在，说明理由．

难度：中等

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3．如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）记f（x）=S²，求f（x）的最大值及面积S的最大值．

难度：中等

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4．设F₁，F₂分别是C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF₂与x轴垂直，直线MF₁与C的另一个交点为N．
（1）若直线MN的斜率为
3
4
，求C的离心率；
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F₁N|，求a，b．

难度：中等

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5．如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A和B，且
AB
与
n
=（
2
，-1）共线．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆E有两个不同的交点P和Q，O为坐标原点，总使
OP
•
OQ
＜0，求实数m的取值范围．

难度：较易

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6．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F₁，F₂是其左右焦点，离心率为
6
3
，且经过点（3，1）
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A₁，A₂分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线A₁Q斜率为k，且k∈(-
1
2
， -
1
3
)，求直线A₂Q斜率的取值范围；
（3）若Q为椭圆上动点，求cos∠F₁QF₂的最小值．

难度：较难

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7．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，满足
x1x2
b2
+
y1y2
a2
=0，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，O为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，C）（C为半焦距），求直线AB的斜率k的值．

难度：较难

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8．两边靠墙的角落有一个区域，边界线正好是椭圆轨迹的部分，如图所示，现要设计一个长方形花坛，要求其不靠墙的顶点正好落在椭圆的轨迹上．
（1）根据所给条件，求出椭圆的标准方程；
（2）求长方形面积S与边长x的函数关系式；
（3）求当边长x为多少时，面积S有最大值，并求其最大值．

难度：中等

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9．公园中有一个月亮门，上边是半径为
17
2
m的圆的劣弧，下边是长半轴等于2m，短半轴等于1m的半个椭圆，现要搬运一个横截面为矩形的货箱水平通过该月亮门．若矩形货箱的横截面的水平底边长为2m，则该货箱的高所允许的最大值为多少m．

难度：中等

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10．椭圆的中心为原点O，一焦点为F（3，0），过焦点F引垂直于长轴的弦MN，已知从中心O看弦MN的视角等于从长轴端点看短轴的视角，求此椭圆的离心率和椭圆方程．

难度：中等

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