知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=﹣1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又直线AB的一个方向向量 $\text{[math]}$ 且过点（1，0），AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

难度：中等

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2．如图，已知圆O：x²+y²=a²（a＞0）过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，过点F且与圆O相切的直线被抛物线C截得的弦长为4
（1）求圆O和抛物线C的标准方程；
（2）若P为抛物线C在第一象限内的点，抛物线在点P处的切线y=kx+b（设为l₁）被圆O截得的弦长为
95
5
，直线l₂过点P且垂直直线l₁，设l₂与抛物线的另一交点为M，求弦PM的长．

难度：较难

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3．如图，设F为抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，P是抛物线上一定点，其坐为（x₀，y₀）（x₀≠0），Q为线段OF的垂直平分线上一点，且点Q到抛物线的准线l的距离为
3
2
．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点P任作两条斜率均存在的直线PA、PB，分别与抛物线交于点A、B，如图示，若直线AB的斜率为定值-
2
y0
，求证：直线PA、PB的倾斜角互补．

难度：较难

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4．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）和⊙M：（x-4）²+y²=r²（0＜r≤1），圆心M到抛物线C的准线的距离为
17
4
，过抛物线C上一点H（x₀，y₀）（y₀≥1）作两条直线分别与⊙M相切与A、B两点，与抛物线C交于E、F两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（3）若r=1时，直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

难度：中等

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5．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点F是双曲线：
3x2
5
-
3y2
7
=1的一个焦点；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点F任作直线l与曲线C交于A，B两点．
①求
OA
•
OB
的值；②由点A，B分别向（x-2）²+y²=1各引一条切线切点分别为P、Q，记α=∠AFP，β=∠BFQ，求cosα+cosβ的值．

难度：较难

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6．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

难度：较难

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7．已知抛物线C：y=x²，过点M（1，1）作两条相互垂直的直线，与抛物线的另两个交点分别为A，B
（Ⅰ）求抛物线C的准线方程；
（Ⅱ）直线AB是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

难度：较难

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8．已知点F是抛物线y²=2px的焦点，其中p是正常数，点M的坐标为（12，8），点N在抛物线上，且满足
ON
=
3
4
OM
，O为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若AB，CD都是抛物线经过点F的弦，且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k＞0，C．A两点在x轴上方，△AFC与△BFD的面积之和为S，求当k变化时S的最小值．

难度：中等

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9．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
3
，右准线方程为x=
3
3

（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=r²上动点P（x₀，y₀）（x₀y₀≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，是否存在实数r使得∠AOB始终为90°．若存在，求出r的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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10．已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线相切
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离．

难度：中等

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