知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知点\(A(1,1)\)，\(P\)，\(Q\)为抛物线\(y^{2}=x\)上两动点，且\( \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}=0\)．
\((1)\)求证：直线\(PQ\)必过一定点；
\((2)\)求线段\(PQ\)的中点\(M\)的轨迹方程．

难度：较易

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2．
已知抛物线\(G\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，过焦点\(F\)的动直线\(l\)与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)．
\((1)\)当直线\(l\)的倾斜角为\( \dfrac {π}{4}\)时，\(|AB|=16.\)求抛物线\(G\)的方程；
\((2)\)对于\((1)\)问中的抛物线\(G\)，若点\(N(3,0)\)，求证：\(|AB|-2|MN|\)为定值，并求出该定值．

难度：较易

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3．
设\(A\)、\(B\)是抛物线\(y^{2}=8x\)上的两点，\(A\)与\(B\)的纵坐标之和为\(8\)．
\((1)\)求直线\(AB\)的斜率；
\((2)\)若直线\(AB\)过抛物线的焦点\(F\)，求\(|AB|\)．

难度：较易

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4．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)的焦点为\(F\)，抛物线上的点\(P\)到\(y\)轴的距离等于\(|PF|-1\)．
\((1)\)求\(p\)的值；
\((2)\)是否存在正数\(m\)，对于过点\(M(m,0)\)且与抛物线\(C\)有两个交点\(A\)、\(B\)的任一直线，都有\( \overrightarrow{FA}⋅ \overrightarrow{FB} < 0\)？若存在，求出\(m\)的取值范围；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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5．
已知抛物线\(C\)：\(y^{2}=2px(p > 0)\)，上的点\(M(1,m)\)到其焦点\(F\)的距离为\(2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求\(C\)的方程；并求其焦点坐标；
\((II)\)过抛物线焦点且斜率为\(1\)的直线\(a\)交抛物线与\(A\)，\(B\)两点，求弦\(|AB|\)的长．

难度：易

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6．
已知直线\(l\)经过抛物线\(y^{2}=4x\)的焦点\(F\)，且与抛物线相交于\(A\)、\(B\)两点．
\((1)\)若\(|AF|=4\)，求点\(A\)的坐标；
\((2)\)求线段\(AB\)的长的最小值．

难度：较易

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7．
已知顶点为\(O\)的抛物线\(y^{2}=2x\)与直线\(y=k(x-2)\)相交于不同的\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)求证：\(OA⊥OB\)；
\((2)\)当\(k= \sqrt {2}\)时，求\(\triangle OAB\)的面积．

难度：较易

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8．
已知抛物线\(W\)：\(y^{2}=4x\)，直线\(x=4\)与抛物线\(W\)交于\(A\)，\(B\)两点\(.\)点\(P(x_{0},y_{0})(x_{0} < 4,y_{0}\geqslant 0)\)为抛物线上一动点，直线\(PA\)，\(PB\)分别与\(x\)轴交于\(M\)，\(N\)．
\((\)Ⅰ\()\)若\(\triangle PAB\)的面积为\(4\)，求点\(P\)的坐标；
\((\)Ⅱ\()\)当直线\(PA⊥PB\)时，求线段\(PA\)的长；
\((\)Ⅲ\()\)若\(\triangle PMN\)与\(\triangle PAB\)面积相等，求\(\triangle PMN\)的面积．

难度：中等

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9．
已知抛物线\(y^{2}=2px(p > 0)\)，焦点对准线的距离为\(4\)，过点\(P(1,-1)\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点．
\((1)\)求抛物线的方程；
\((2)\)如果点\(P\)恰是线段\(AB\)的中点，求直线\(AB\)的方程．

难度：较易

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10．
已知动圆\(M\)过定点\(O\)且与定直线\(l\)：\(x=-1\)相切，动圆圆心\(M\)的轨迹为曲线\(C\)．
\((\)Ⅰ\()\)求曲线\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)已知斜率为\(k\)的直线\(l′\)交\(y\)轴于点\(P\)，且与曲线\(C\)相切于点\(A\)，设\(OA\)的中点为\(Q(\)其中\(O\)为坐标原点\().\)求证：直线\(PQ\)的斜率为\(0\)．

难度：较易

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