知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．若双曲线与椭圆 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%2B%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B25%7D%3D1$ 有相同的焦点，与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D-y%5E%7B2%7D%3D1$ 有相同渐近线，求双曲线方程．

难度：较易

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2．求与双曲线 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7B9%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B16%7D%3D1$ 有共同渐近线，并且经过点（-3， $2%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）的双曲线方程．

难度：较易

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3．已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ 且过点（4，- $%20%5Csqrt%20%7B10%7D$ ）
（Ⅰ）求双曲线方程；
（Ⅱ）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的条件，求△F₁MF₂的面积．

难度：中等

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4．已知双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D-1%28a%EF%BC%9E0%EF%BC%8Cb%EF%BC%9E0%29$ 的两个焦点为 $F%EF%BC%9A%28-2%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8CF%EF%BC%9A%282%EF%BC%8C0%29%EF%BC%8C%5Ctext%7B%E7%82%B9%7DP%283%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B7%7D%29$
的曲线C上．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为 $2%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，求直线l的方程．

难度：较难

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5．已知命题P：方程 $\text{[math]}$ 表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x²+（y﹣1）²=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．

难度：中等

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6．已知命题P：方程 $%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Bt%2B2%7D$ + $%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bt-10%7D$ =1表示双曲线；命题q：1-m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．

难度：较易

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7．已知双曲线C₁： $x%5E%7B2%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7B4%7D%3D1$ ．
（1）求与双曲线C₁有相同焦点，且过点P（4， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）的双曲线C₂的标准方程；
（2）直线l：y=x+m分别交双曲线C₁的两条渐近线于A、B两点．当 $%20%5Coverrightarrow%20%7BOA%7D%5Ccdot%20%20%5Coverrightarrow%20%7BOB%7D%3D3$ 时，求实数m的值．

难度：较易

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8．已知双曲线 $C%EF%BC%9A%20%5Cfrac%20%7Bx%5E%7B2%7D%7D%7Ba%5E%7B2%7D%7D-%20%5Cfrac%20%7By%5E%7B2%7D%7D%7Bb%5E%7B2%7D%7D$ =1（a＞0，b＞0）的离心率为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，右准线方程为 $x%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x²+y²=5上，求m的值．

难度：较难

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9．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C，一条渐近线方程为x-2y=0，且双曲线经过点A（2 $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，1）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的两个焦点分别为F₁，F₂，过点P（0，t）作双曲线C切线，切点为M，若△F₁MF₂的面积为 $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B5%7D%7D%7B2%7D$ ，求实数t的值．

难度：中等

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10．写出双曲线和椭圆的几何定义，并标明字母符号的意义，如有必要可画图并配有文字解释．

难度：较易

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