知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系中，点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别为双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点，双曲线\(C\)的离心率为\(2\)，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在双曲线\(C\)上\(.\)不在\(x\)轴上的动点\(P\)与动点\(Q\)关于原点\(O\)对称，且四边形\(PF_{1}QF_{2}\)的周长为\(4 \sqrt {2}\)．
\((1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；
\((2)\)在动点\(P\)的轨迹上有两个不同的点\(M(x_{1},y_{1})\)、\(N(x_{2},y_{2})\)，线段\(MN\)的中点为\(G\)，已知点\((x_{1},x_{2})\)在圆\(x^{2}+y^{2}=2\)上，求\(|OG|⋅|MN|\)的最大值，并判断此时\(\triangle OMN\)的形状．

难度：较易

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2．
已知\(a∈R\)，双曲线\(Γ： \dfrac {x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1\)
\((1)\)若点\((2,1)\)在\(Γ\)上，求\(Γ\)的焦点坐标
\((2)\)若\(a=1\)，直线\(y=kx+1\)与\(Γ\)相交于\(A\)、\(B\)两点，且线段\(AB\)中点的横坐标为\(1\)，求实数\(k\)的值

难度：较易

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3．
如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中，直线\(l_{1}\)：\(y=x\)与直线\(l_{2}\)：\(y=-x\)之间的阴影部分记为\(W\)，区域\(W\)中动点\(P(x,y)\)到\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的距离之积为\(1\)．
\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹\(C\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)动直线\(l\)穿过区域\(W\)，分别交直线\(l_{1}\)，\(l_{2}\)于\(A\)，\(B\)两点，若直线\(l\)与轨迹\(C\)有且只有一个公共点，求证：\(\triangle OAB\)的面积恒为定值．

难度：较易

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4．
设集合\(A\)，\(B\)均为实数集\(R\)的子集，记\(A+B=\{a+b|a∈A,b∈B\}\)．
\((1)\)已知\(A=\{0,1,2\}\)，\(B=\{-1,3\}\)，试用列举法表示\(A+B\)；
\((2)\)设\(a_{1}= \dfrac {2}{3}\)，当\(n∈N^{*}\)且\(n\geqslant 2\)时，曲线\( \dfrac {x^{2}}{n^{2}-n+1}+ \dfrac {y^{2}}{1-n}= \dfrac {1}{9}\)的焦距为\(a_{n}\)，如果\(A=\{a_{1},a_{2},…,a_{n}\}\)，\(B=\{- \dfrac {1}{9},- \dfrac {2}{9},- \dfrac {2}{3}\}\)，设\(A+B\)中的所有元素之和为\(S_{n}\)，求\(S_{n}\)的值；
\((3)\)在\((2)\)的条件下，对于满足\(m+n=3k\)，且\(m\neq n\)的任意正整数\(m\)，\(n\)，\(k\)，不等式\(S_{m}+S_{n}-λS_{k} > 0\)恒成立，求实数\(λ\)的最大值．

难度：较易

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5．
设双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{2}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)，\(F_{1}\)，\(F_{2}\)为其左右两个焦点．
\((1)\)设\(O\)为坐标原点，\(M\)为双曲线\(C\)右支上任意一点，求\( \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{F_{1}M}\)的取值范围；
\((2)\)若动点\(P\)与双曲线\(C\)的两个焦点\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距离之和为定值，且\(\cos ∠F_{1}PF_{2}\)的最小值为\(- \dfrac {1}{9}\)，求动点\(P\)的轨迹方程．

难度：易

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6．
在平面直角坐标系中，点\(F_{1}\)、\(F_{2}\)分别为双曲线\(C\)：\( \dfrac {x^{2}}{a^{2}}- \dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1(a > 0,b > 0)\)的左、右焦点，双曲线\(C\)的离心率为\(2\)，点\((1, \dfrac {3}{2})\)在双曲线\(C\)上\(.\)不在\(x\)轴上的动点\(P\)与动点\(Q\)关于原点\(O\)对称，且四边形\(PF_{1}QF_{2}\)的周长为\(4 \sqrt {2}\)．
\((1)\)求动点\(P\)的轨迹方程；
\((2)\)已知动直线\(l\)：\(y=kx+m\)与轨迹\(P\)交于不同的两点\(M\)、\(N\)，且与圆\(W：x^{2}+y^{2}= \dfrac {3}{2}\)交于不同的两点\(G\)、\(H\)，当\(m\)变化时，\( \dfrac {|MN|}{|GH|}\)恒为定值，求常数\(k\)的值．

难度：较易

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7．
已知双曲线\(C\)：\(x^{2}-y^{2}=1\)．
\((1)\)求以右焦点为圆心，与双曲线\(C\)的渐近线相切的圆的方程；
\((2)\)若经过点\(P(0,-1)\)的直线与双曲线\(C\)的右支交于不同两点\(M\)、\(N\)，求线段\(MN\)的中垂线\(l\)在\(y\)轴上截距\(t\)的取值范围．

难度：较易

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8．
已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{4}- \dfrac {y^{2}}{3}=1\)，其右顶点为\(P\)．
\((1)\)求以\(P\)为圆心，且与双曲线\(C\)的两条渐近线都相切的圆的标准方程；
\((2)\)设直线\(l\)过点\(P\)，其法向量为\( \overrightarrow{n}=(1,-1)\)，若在双曲线\(C\)上恰有三个点\(P_{1}\)，\(P_{2}\)，\(P_{3}\)到直线\(l\)的距离均为\(d\)，求\(d\)的值．

难度：较易

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9．
已知双曲线\(C\)以\(F_{1}(-2,0)\)、\(F_{2}(2,0)\)为焦点，且过点\(P(7,12)\)．
\((1)\)求双曲线\(C\)与其渐近线的方程；
\((2)\)若斜率为\(1\)的直线\(l\)与双曲线\(C\)相交于\(A\)，\(B\)两点，且\( \overrightarrow{OA}⊥ \overrightarrow{OB}(O\)为坐标原点\().\)求直线\(l\)的方程．

难度：较难

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10．
已知双曲线\(C： \dfrac {x^{2}}{4}-y^{2}=1\)的左右两个顶点是\(A_{1}\)，\(A_{2}\)，曲线\(C\)上的动点\(P\)，\(Q\)关于\(x\)轴对称，直线\(A_{1}P\)与\(A_{2}Q\)交于点\(M\)，
\((1)\)求动点\(M\)的轨迹\(D\)的方程；
\((2)\)点\(E(0,2)\)，轨迹\(D\)上的点\(A\)，\(B\)满足\( \overrightarrow{EA}=λ \overrightarrow{EB}\)，求实数\(λ\)的取值范围．

难度：较难

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