知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知方程
x2
m-1
+
y2
2-m
=1．
（1）当实数m取何值时，此方程分别表示圆、椭圆、双曲线？
（2）若命题q：实数m满足方程
x2
m-1
+
y2
2-m
=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题p：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＜0），且非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

难度：中等

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2．已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于表中：
x 3 -2 4
3
y -2
3
0 -4
1
2
（1）求C₁、C₂的标准方程；
（2）请问是否存在直线l满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交不同两点M、N，且满足
OM
⊥
ON
？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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3．对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
），则动点P的轨迹为圆；
③方程4x²-12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+
y2
10
=1有相同的焦点．
⑤椭圆C：
x2
2
+y²=1上满足
MF1
•
MF2
=0的点M有4个（其中F₁，F₂为椭圆C的焦点）．
其中正确结论的序号为（写出所有正确结论的序号）．

难度：较难

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4．已知直线：
sinθ
a
x+
cosθ
b
y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：
①当θ=
π
4
时，S中直线的斜率为
b
a
；
②S中所有直线均经过一个定点；
③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．
其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．

难度：较难

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5．已知曲线C上动点P（x，y）到定点F₁（
3
，0）与定直线l₁：x=
4
3
3
的距离之比为常数
3
2
．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若过点Q（1，
1
2
）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；
（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求
TM
•
TN
的最小值，并求此时圆T的方程．

难度：中等

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