知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C： $\text{[math]}$ =1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（cosθ﹣2sinθ）=6．
（Ⅰ）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．

难度：中等

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2．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A(-
2
2
，
3
2
)，离心率为
2
2
，点F₁，F₂分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且
OP
⊥
OQ
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知双曲线C以椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点．过双曲线C的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若△OAB的面积（其中O为坐标原点）为6，求直线l的方程．

难度：较难

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5．已知曲线C：x²=-2py（p＞0），点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P（2，0），记OA、OB的斜率为k₁、k₂，试探求k₁、k₂的关系，并证明你的结论．

难度：较难

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6．已知圆x²+y²-6x-7=0与抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线相切
（Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）过抛物线C的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=7，求线段AB的中点M到y轴的距离．

难度：中等

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7．已知椭圆的两焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），P为椭圆上一点，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若点P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面积．

难度：中等

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8．已知抛物线C：x²=y的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A，B的切线相交于点P．
（1）若P在直线y=-1上，则直线AB是否恒过某个定点M？若是，请求点M的坐标；若不是，请说明理由．
（2）（文科）若P在直线y=-1上，求
AF
•
BF
|
AF
|+|
BF
|
的最大值．
（理科）若P在直线y=-1上，求
cos＜
AF
，
BF
＞
|
AF
|
|
BF
|
+
|
BF
|
AF
+2
的取值范围．
（3）（理科）动点G满足
GA
+
GB
+λ
GP
=
0
，是否存在实数λ，使G在曲线C上？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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9．已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪几条直线与C₁和C₂都相切？（求出公切线方程）

难度：中等

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