知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在椭圆E：
x2
4
+y2=1上任取一点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，点M满足
DM
=2
DP
，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点B₁（0，1）作直线交椭圆E于A₁，B₁，交曲线C于A₂，B₂，当|A₁B₁|最大时，求|A₂B₂|．

难度：中等

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2．已知离心率为
1
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A（2，0）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且S_△AMN=
6
2
7
，求直线l的一般方程．

难度：中等

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3．已知椭圆的中心为坐标原点O，它的短轴长为2
2
，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为(
10
c
-c，0)且
OF
=2
FA
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过焦点F的直线交椭圆于P，Q两点．
①若OP⊥OQ，求直线PQ的斜率；
②若直线PQ的斜率为1，在线段OF之间是否存在一个点M（x₀，0），使得以MP，MQ为邻边构成的平行四边形为菱形，若存在，求出M点的坐标；不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知抛物线C：x²=2py的焦点与椭圆
y2
4
+
x2
3
=1的上焦点重合，点A是直线x-2y-8=0上任意一点，过A作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N．
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明直线MN过定点，并求出定点坐标．

难度：中等

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5．已知椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）经过点（
3
2
，1），一个焦点是F（0，-1）
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁，A₂，点P在直线y=a²上，直线PA₁，PA₂分别与椭圆C交于M，N两点．试问：当点Q在直线y=a²上运动时，直线MN是否恒过定点Q？证明你的结论．

难度：中等

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6．在平面直角坐标系xOy中，椭圆
x2
8
+
y2
4
=1上一点A（2，
2
），点B是椭圆上任意一点（异于点A），过点B作与直线OA平行的直线l交椭圆于点C，当直线AB、AC斜率都存在时，k_AB+k_AC= ．

难度：较易

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7．如图所示，在椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，点B（0，-b）是椭圆C的下顶点，BF₁的延长线交椭圆C于点A，点D和点A关于x轴对称．
（1）若BF₁=2，点D（-
8
3
7
，-
1
7
），求椭圆的标准方程；
（2）若
DF2
•
BA
=0，求椭圆C的离心率e．

难度：中等

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8．过异于原点的点P（x₀，y₀）引椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的割线PAB，其中点A．B在椭圆上，点M是割线PAB上异于P的一点，且满足
AM
MB
=
AP
PB
．
求证：点M在直线
x0x
a2
+
y0y
b2
=1上．

难度：中等

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9．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦点为F（c，0）且a＞b＞c＞0．设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为
3
2
，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|
GF
|+|
CF
|=4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得
OP2
=4
PA
•
PB
成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．平面直角坐标系xoy中，点P为椭圆C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的下顶点，M、N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线0N的倾斜角，若α∈[
π
4
，
π
3
]，则椭圆C的离心率的取值范围为．

难度：较易

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