知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设A，B分别是直线y=
2
5
5
x和y=-
2
5
5
x上的两个动点，并且|
AB
|=
20
，动点P满足
OP
=
OA
+
OB
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点D的坐标为（0，16），M，N是曲线C上的两个动点，并且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围；
（3）M，N是曲线C上的任意两点，并且直线MN不与y轴垂直，线段MN的中垂线l交y轴于点E（0，y₀），求y₀的取值范围．

难度：较难

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2．已知椭圆K 1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F（c，0），抛物线K₂：x²=2py（p＞0）的焦点为G，椭圆K₁与抛物线K₂在第一象限的交点为M，若抛物线K₂在点M处的切线l经过椭圆K₁的右焦点，且与y轴交于点D．
（1）若点M（2，1），求c；
（2）求a、c、p的关系式；
（2）试问△MDG能否为正三角形？若能请求出椭圆的离心率，若不能请说明理由．

难度：较难

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3．已知椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且点M（1，e）和N(e，
3
2
)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）是否存在直线l同时与椭圆C₁和抛物线C2：y2=4x都相切？若存在，求出该直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．已知常数a＞0，向量
m
=（0，a），
n
=（1，0）经过定点A（0，-a）以
m
+λ
n
为方向向量的直线与经过定点B（0，a）以
n
+2λ
m
为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．
（I）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若a=
2
2
，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求
EM
•
EN
的取值范围．

难度：较难

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5．已知抛物线C：x²=y的焦点为F，过抛物线C上两个不同的点A，B的切线相交于点P．
（1）若P在直线y=-1上，则直线AB是否恒过某个定点M？若是，请求点M的坐标；若不是，请说明理由．
（2）（文科）若P在直线y=-1上，求
AF
•
BF
|
AF
|+|
BF
|
的最大值．
（理科）若P在直线y=-1上，求
cos＜
AF
，
BF
＞
|
AF
|
|
BF
|
+
|
BF
|
AF
+2
的取值范围．
（3）（理科）动点G满足
GA
+
GB
+λ
GP
=
0
，是否存在实数λ，使G在曲线C上？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪几条直线与C₁和C₂都相切？（求出公切线方程）

难度：中等

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7．已知抛物线y²=2px（p＞0），椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，如图示，K为与焦点F对应的准线与x轴的交点，AB为过焦点的垂直于x轴的弦．
（1）在抛物线中，已知∠AKB为直角，则在椭圆和双曲线中∠AKB还为直角吗？试证明你的合情推理所得到的结论；
（2）在抛物线中，已知直线KA与抛物线只有一个公共点A，则在椭圆和双曲线中也有类似的性质吗？试选择椭圆证明你的类比推理．

难度：中等

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8．已知点F(
1
2
，0)，动圆P经过点F，与直线x=-
1
2
相切，设动圆的圆心P的轨迹为曲线W，且直线x-y=m与曲线W相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，O为坐标原点．
（1）求曲线W的方程；
（2）当m=2时，证明：OA⊥OB；
（3）当y₁y₂=-2m时，是否存在m∈R，使得
OA
•
OB
=-1？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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