知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x﹣4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x₀ ， y₀）（y₀≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

难度：中等

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2．（2015秋•宁夏校级月考）如图，已知圆G：x²+y²-2x-
2
y=0经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）且倾斜角为
5
6
π的直线l交椭圆于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
FC
•
FD
=0，求m的值．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，且过点（1，
6
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x²+y²=
3
4
相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．

难度：中等

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4．某地拟模仿图（1）建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图（2）所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤10，单位：米）；曲线BC是抛物线y=-ax²+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．

（1）若要求CD=20米，AD=（10
3
+30）米，求t与a值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过45米，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知圆C₁：x²+y²=r²（r＞0）的一条直径是椭圆C₂：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴，过椭圆C₂上一点D（1，
3
2
）的动直线l与圆C₁相交于点A、B，弦AB长的最小值是
3

（1）圆C₁和椭圆C₂的方程；
（2）椭圆C₂的右焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线m、n，设直线m交圆C₁于点P、Q，直线n与椭圆C₂于点M、N，求四边形PMQN面积的取值范围．

难度：中等

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6．已知椭圆
x2
2
+y²=1，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点．直线PF₁，PF₂与圆x²+y²=1的另外一个交点分别为M、N两点．
（Ⅰ）椭圆上是否存在一点Q，使得∠F₁QF₂=
π
2
？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一定点．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为e=
2
5
5
，过右焦点作垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
8
5
5
+4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点B（-2，0）的直线l与椭圆C交于P，Q两点，交圆O：x²+y²=8于M，N两点，若|MN|∈[4，2
7
]，求△OPQ面积的取值范围．

难度：中等

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8．已知点M（2，1），N（-2，1），直线MP，NP相交于点P，且直线MP的斜率减直线NP的斜率的差为1．设点P的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1），点C是曲线E上异于原点的任意一点，若以A为圆心，线段AC为半径的圆交y轴负半轴于点B，试判断直线BC与曲线E的位置关系，并证明你的结论．

难度：较难

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点A(-
2
2
，
3
2
)，离心率为
2
2
，点F₁，F₂分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且
OP
⊥
OQ
？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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