已知点\(P\)\((2,2)\)，圆\(C\)：\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}-8\)\(y\)\(=0\)，过点\(P\)的动直线\(l\)与圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点．

\((1)\)求\(M\)的轨迹方程；

\((2)\)当\(|\)\(OP\)\(|=|\)\(OM\)\(|\)时，求\(l\)的方程及\(\triangle \)\(POM\)的面积．

如图所示，经过圆\(x^{2}+y^{2}=4\)上任一点\(P\)作\(x\)轴的垂线，垂足为\(Q\)，求线段\(PQ\)中点轨迹的普通方程．

已知曲线\(C\)上的任一点到点\(F(0,1)\)的距离减去它到\(x\)轴的距离的差都是\(1\)．

\((1)\)求曲线\(C\)的方程\(;\)

\((2)\)设直线\(y=kx+m(m > 0)\)与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，若对任意\(k∈R\)，都有\(\overrightarrow{{FA}}·\overrightarrow{{FB}} < 0\)，求\(m\)的取值范围．

\((2)\)若\(A\)，\(B\)是曲线\(C\)上分别位于点\(Q\)两边的任意两点，过\(A\)，\(B\)分别作曲线\(C\)的切线交于点\(P\)，过点\(Q\)作曲线\(C\)的切线分别交直线\(PA\)，\(PB\)于\(D\)，\(E\)两点\(.\)证明：\(\triangle QAB\)与\(\triangle PDE\)的面积之比为定值．

已知\(M\)\((4,0)\)，\(N\)\((1,0)\)，曲线\(C\)上的任意一点\(P\)满足：\( \overset{→}{MN}· \overset{→}{MP}=6| \overset{→}{PN}| \)．

\((\)Ⅰ\()\)求点\(P\)的轨迹方程；

\((\)Ⅱ\()\)过点\(N\)\((1,0)\)的直线与曲线\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，交\(y\)轴于\(H\)点，设\( \overset{→}{HA} =\)\(λ\)_{1\( \overset{→}{AN} \)}，\( \overset{→}{HB} =\)\(λ\)_{2\( \overset{→}{BN} \)}，试问\(λ\)\({\,\!}_{1}+\)\(λ\)\({\,\!}_{2}\)是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．

已知圆\(C\)的圆心在直线\(3x+y-1=0\)上，且\(x\)轴，\(y\)轴被圆\(C\)截得的弦长分别为\(2 \sqrt{5} \)，\(4 \sqrt{2} \)，若圆心\(C\)位于第四象限

\((1)\)求圆\(C\)的方程；

\((2)\)设\(x\)轴被圆\(C\)截得的弦\(AB\)的中心为\(N\)，动点\(P\)在圆\(C\)内且\(P\)的坐标满足关系式\((x-1)^{2}-y^{2}= \dfrac{5}{2} \)，求\( \overset{⇀}{PA·} \overset{⇀}{PB} \)的取值范围．

已知中心在坐标原点、焦点在轴上椭圆的离心率\(e= \dfrac{ \sqrt{3}}{3} \)，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(y=x+2\)相切．

\((\)Ⅰ\()\)求该椭圆的标准方程；

\((\)Ⅱ\()\)设椭圆的左，右焦点分别是\({F}_{1} \)和\({F}_{2} \)，直线\({l}_{1}过{F}_{2} \)且与\(x\)轴垂直，动直线\({l}_{2} \)与\(y\)轴垂直，\({l}_{2}交{l}_{1} \)于点\(P\)，求线段\(P{F}_{1} \)的垂直平分线与\({l}_{2} \)的交点\(M\)的轨迹方程，并指明曲线类型．