知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）在（i）的条件下，求△MPQ面积的最小值．

难度：较难

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2．已知圆C₁：（x+2）²+y²=
81
16
，圆C₂：（x-2）²+y²=
1
16
，动圆Q与圆C₁、圆C₂均外切．求动圆圆心Q的轨迹为曲线C；
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设点M（m，0），点Q为曲线C上位于x轴上方的动点，
①若m＜0，写出直线MQ倾斜角的取值范围；
②证明：∃整数λ，负数m，使得∠QC₂M=λ∠QMC₂．

难度：中等

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3．定长为3的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，动点P满足
BP
=2
PA
．
（Ⅰ）求点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C交于M、N两点，求
OM
•
ON
的最大值．

难度：较难

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4．给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)．
（1）若椭圆C上一动点M₁满足|
M1F1
|+|
M1F2
|=4，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）在（1）的条件下，过点P（0，t）（t＜0）作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2
3
，求P点的坐标；
（3）已知m+n=-
cosθ
sinθ
，mn=-
3
sinθ
(m≠n，θ∈（0，π）），是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点（m，m²），（n，n²）的直线的最短距离dmin=
a2+b2
-b．若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．椭圆
x2
3
+
y2
2
=1的左右焦点分别为F₁和F₂，直线l₁过F₂且与x轴垂直，动直线l₂与y轴垂直，l₂交l₁于点P，求线段P F₁的垂直平分线与 l₂的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

难度：较难

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6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，|BC|=4，|AC|=3，一曲线E过点A，动点P在曲线E运动，且保持|PC|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）若直线l交曲线E于M、N两点，曲线E与y轴正半轴交于Q点，且△QMN的重心恰好为B点，求线段MN中点的坐标；
（3）以V（-6，-6）为圆心的圆与曲线E交于R、S两点，求RS中点T的轨迹方程．

难度：较难

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7．设椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-
2
，0）、B（
2
，0），离心率e=
2
2
．过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点C的轨迹E的方程；
（3）设直线MN过椭圆的右焦点与椭圆相交于M、N两点，且|MN|=
8
2
7
，求直线MN的方程．

难度：较难

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8．（1）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直线l：x=
16
5
的距离的比是常数
5
4
，求点M的轨迹．
（2）已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程．

难度：中等

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9．已知F₁、F₂分别为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆C上的点A（1，
3
2
）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程．

难度：较难

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10．已知三角形△ABC的两顶点为B（-2，0），C（2，0），它的周长为10，求顶点A轨迹方程．

难度：中等

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