知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AD=PA=
2
AB=2，E，F分别为PB，AD的中点．
（1）证明：AC⊥EF；
（2）求直线EF与平面PCD所成角的正弦值．

难度：中等

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2．在正三棱柱△ABC-△A₁B₁C₁中，AB=1，点D在棱BB₁上，若BD=1，则AD与平面AA₁C₁C所成角的正切值为．

难度：中等

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3．（2015秋•重庆校级期末）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3．
（1）求异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；
（2）求直线AC与平面PCM所成的角β的正切值．

难度：中等

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4．（2015秋•和平区期末）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，点E是BC的中点．
（Ⅰ）求线段DE的长；
（Ⅱ）求直线A₁E与平面ADD₁A₁所成角的正弦值．

难度：中等

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5．在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，DB=DC=4，∠BDC=90°，P在线段BC上，CP=3PB，M，N分别为AD，BD的中点．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面MNP；
（Ⅱ）若AB=4，求直线MC与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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6．（2015秋•新乡期末）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=1，则直线A₁B与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为．

难度：中等

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7．（2015秋•运城期末）如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（2）在线段AN上是否存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30°，若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．（2015秋•和平区期末）如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC是一个等腰直角三角形，∠BAC=90°，底面BCD是一个等边三角形，平面ABC⊥平面BCD，E为BD的中点，则AE与平面BCD所成角的大小为．

难度：较难

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9．（2015秋•嘉兴期末）如图，在三棱柱A₁B₁C₁-A₂B₂C₂中，各侧棱均垂直于底面，∠A₁B₁C₁=90°，A₁B₁=B₁C₁=3，C₁M=2B₁N=2，则直线B₁C₁与平面A₁MN所成角的正弦值为．

难度：较难

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10．如图，PA⊥平面ABC，PA=
2
，AB=1，BC=
3
，AC=2，D是PC的中点．
（1）求二面角B-PA-C的大小；
（2）求直线BD与平面ABC所成角的正切值．

难度：中等

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