知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•余姚市期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥平面PAB，△PAB是正三角形，AD=AB=2，BC=1，E是线段AB的中点
（Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设直线PC与平面PDE所成角为θ，求cosθ

难度：中等

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2．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，
且AE⊥平面CDE，AE=1．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值．

难度：中等

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3．（2015秋•娄底期末）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

难度：较难

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4．（2015秋•邢台期末）在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．
（1）求证：CE∥平面PAB；
（2）若F为PC的中点，求AF与平面AEC所成角的正弦值．

难度：中等

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5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2CD，E为PB的中点．
（1）证明：CE⊥AB；
（2）若AB=PA=2，求四棱锥P-ABCD的体积；
（3）若∠PDA=60°，求直线CE与平面PAB所成角的正切值．

难度：较难

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6．（2015秋•泉州期末）在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点．
（1）求证：CF∥平面A₁DE；
（2）求直线AA₁与平面A₁DE所成角的余弦值．

难度：中等

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7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=
3
，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（1）求证：PH⊥平面ABCD；
（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

难度：中等

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8．（2015秋•邯郸期末）如图AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A，B的一点，点V是圆O所在平面外一点．
（Ⅰ）若点E是AC的中点，求证：OE∥平面VBC；
（Ⅱ）若VA=VB=VC=AB，求直线VC与平面ABC所成角．

难度：中等

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9．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3，D为棱AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求直线AB₁与平面BCC₁B₁所成角的正切值．

难度：中等

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10．已知四棱锥P-ABCD中，面ABCD为矩形，PA⊥面ABCD，PA=AD=
1
2
AB，M为PB的中点，N、S分别为AB、CD上的点，且AN=CS=
1
4
AB．
（1）证明：DM⊥SN；
（2）求SN与平面DMN所成角的余弦值．

难度：中等

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