知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

已知三棱柱\(.ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的侧棱与底面垂直，底面是边长为\(\sqrt{3}\)的正三角形\(.\)若\(P\)为底面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)的中心，\(PA\)与平面\(ABC\)所成角的大小为\(\dfrac{\pi }{3}\)，则棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的体积为( )

A．\(\dfrac{1}{4}\)

B．\(\dfrac{9}{4}\)

C．\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)

D．\(\dfrac{2\sqrt{3}}{4}\)

难度：易

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2．

如图，梯形\(ABCD\)中，\(AD= BC\)，\(AB\parallel CD\)，\(AC\bot BD\)，平面\(BDFE\bot \)平面\(ABCD\)，\(EF\parallel BD\)，\(BE\bot BD\)

\((1)\)求证：平面\(AFC\bot \)平面\(BDFE;\)

\((2)\)若\(AB=2CD2\sqrt{2}\) ，\(BE = EF =2\)，求\(BF\)与平面\(DFC\)所成角的正弦值．

难度：较难

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3．

如图，在\(Rt∆ABC \)中，\(AB=BC=3\)，点\(E\)、\(F\)分别在线段\(AB\)、\(AC\)上，且\(EF/\!/BC \)，将\(∆AEF \)沿\(EF\)折起到\(∆PEF \)的位置，使得二面角

\(P-EF-B \)的大小为\(60^{\circ} \)．

\((1)\)求证：\(EF⊥PB \)；

\((2)\)当点\(E\)为线段\(AB\)的靠近\(B\)点的三等分点时，求\(PC\)与平面\(PEF\)所成角\(\theta \)的正弦值．

难度：易

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4．正方体\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中棱长为\(1\)，则面\(A_{1}BD\)与底面\(ABCD\)所成的角余弦值为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)

B．\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)

C．\( \dfrac { \sqrt {6}}{3}\)

D．\(- \dfrac { \sqrt {3}}{3}\)

难度：较易

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5．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD⊥CD\)，且\(AD=CD=2 \sqrt{2} \)，\(BC=4 \sqrt{2} \)，\(PA=2\)，点\(M\)在\(PD\)上．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(AB⊥PC\)；

\((\)Ⅱ\()\)若二面角\(M-AC-D\)的大小为\(45^{\circ}\)，求\(BM\)与平面\(PAC\)所成角的正弦值．

难度：中等

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6．

正三棱锥\(P-ABC\)中，\(PA=3\)，\(AB=2\)，则\(PA\)与平面\(PBC\)所成角的余弦值为\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac {2 \sqrt {3}}{9}\)

B．\( \dfrac { \sqrt {6}}{12}\)

C．\( \dfrac {7 \sqrt {2}}{12}\)

D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)

难度：较难

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7．把正方形\(ABCD\)沿对角线\(AC\)折起，当以\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线\(BD\)和平面\(ABC\)所成的角的大小为\((\)　　\()\)

A．\(90^{\circ}\)

B．\(60^{\circ}\)

C．\(45^{\circ}\)

D．\(30^{\circ}\)

难度：中等

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8．

\(19.\)如图，在直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)中，\(\angle {{A}_{1}}AB=90{}^\circ \)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}/\!/AB\)，\({{A}_{1}}{{B}_{1}}=1\)，\(AB=A{{A}_{1}}=2.\)直角梯形\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)通过直角梯形\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)以直线\(A{{A}_{1}}\)为轴旋转得到，且使得平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)．

\((1)\)求证：平面\(CA{{B}_{1}}\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{B}_{1}}B\)；

\((2)\)延长\({{B}_{1}}{{A}_{1}}\)至点\({{D}_{1}}\)，使\({{B}_{1}}{{A}_{1}}={{A}_{1}}{{D}_{1}}\)，\(E\)为平面\(ABC\)内的动点，若直线\({{D}_{1}}E\)与平面\(CA{{B}_{1}}\)所成的角为\(\alpha \)，且\(\sin \alpha =\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)，求点\(E\)到点\(B\)的距离的最小值．

难度：中等

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9．
正四棱锥\(P-ABCD\)的侧面是全等的正三角形，则侧棱\(PA\)与底面\(ABCD\)所成角的大小是________．

难度：较易

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10．
如图，三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，各棱长均相等\(.D\)，\(E\)，\(F\)分别为棱\(AB\)，\(BC\)，\(A_{1}C_{1}\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)证明\(EF/\!/\)平面\(A_{1}CD\)；

\((\)Ⅱ\()\)若三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)为直棱柱，求直线\(BC\)与平面\(A_{1}CD\)所成角的正弦值．

难度：中等

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