知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2
2
，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥ABB₁A₁平面．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2016春•武汉校级月考）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．
（1）求三棱锥S-FAC的体积；
（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA₁=2，点P是棱BB₁上一点，满足
BP
=λ
BB1
（0≤λ≤1）．
（1）若λ=
1
3
，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P-A₁C-B的正弦值为
2
3
，求λ的值．

难度：中等

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4．（2016春•淮安校级月考）如图，在四棱锥P-ABCD中．底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，AP∥CQ，AB=2BC=2，CQ=
3
2
AP=3．
（1）求直线PD与平面BPQ所成角的正弦值；
（2）求二面角A-PQ-B的余弦值．

难度：中等

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5．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求AE与平面ABCD所成角的正弦值．

难度：中等

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6．（2013•运城校级三模）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使CE∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图所示的几何体中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC，EC⊥CB．已知BC=2AD=2AB=2．
（I）证明：BD⊥平面DEC；
（Ⅱ）若EC=1，求AD与面BED所成角的正弦值．

难度：中等

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8．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=5，AC=AA₁=4，BC=3，点D在AB上．
（1）若D是AB的中点，求证：AC₁∥平面B₁CD．
（2）当
BD
AB
=
9
16
时，求直线AC₁与平面CC₁D所成角的正弦值．

难度：中等

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9．设ABCDEF是边长为1的正六边形，PA垂直于正六边形所在的平面，且PA=2．求
（1）点P到直线CD的距离，
（2）直线BC与平面PAD的距离，
（3）点A到平面PBD的距离，
（4）异面直线CD与PE所成的角，
（5）直线PD与平面PAB所成的角，
（6）二面角C-PD-E的大小．

难度：较难

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10．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=1，AD=
1
2
，
C1A
=λ
C1M
（λ＞0），以D为原点，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
（1）求点M的坐标
（2）试探求直线BM与面ABC所成角为60°的λ的值．

难度：中等

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