知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•佛山二模）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，AB=BD，BC=CD．
（1）求证：平面ACC₁A₁⊥平面A₁BD；
（2）当BC⊥CD时，直线BC与平面A₁BD所成的角能否为45°？并说明理由．

难度：中等

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2．（2015秋•黄冈校级期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是侧棱CC₁上的一点，CP=m．
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁B₁所成角的正切值为3
2
；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁Q垂直于AP，并证明你的结论．

难度：中等

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3．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，侧棱AA₁⊥平面ABC，AB=2，AA₁=2
3
，D、E分别为AA₁、BC₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面BB₁C₁C；
（2）求BC与平面BC₁D所成角；
（3）求三棱锥C-BC₁D的体积．

难度：中等

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4．（2015秋•晋城期末）如图在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点M，N分别是PD，DC的中点
（Ⅰ）判断直线MN与平面PAC的位置关系，并给予证明
（Ⅱ）求三棱锥P-AMN的体积．

难度：中等

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5．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD的中点．

（1）求证：BM⊥平面ADM；
（2）求直线AE与平面ADM所成角的正弦值．

难度：中等

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6．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面CDB₁
（Ⅱ）求证：AC⊥BC₁
（Ⅲ）求直线AB₁与平面BB₁C₁C所成的角的正切值．

难度：中等

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7．四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，BC=AB=1，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求PA与平面ACE所成角的正弦值．

难度：中等

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8．如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：AC⊥平面PDB
（2）当PD=
2
AB=2，设E为PB的中点，求AE与平面ABCD所成角．

难度：中等

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9．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A₁C，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：BC⊥A₁C；
（Ⅲ）若A₁A=AB，求DF与平面A₁ADD₁所成角的正弦值．

难度：中等

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10．在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁和BB₁的中点．
（1）求证：四边形AEC₁F为平行四边形；
（2）求直线AA₁与平面AEC₁F所成角的正弦值．

难度：中等

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