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          共50条信息

            • 1．
              已知三棱锥\(P-ABC(\)如图\(1)\)的平面展开图\((\)如图\(2)\)中，四边形\(ABCD\)为边长为\( \sqrt {2}\)的正方形，\(\triangle ABE\)和\(\triangle BCF\)均为正三角形，在三棱锥\(P-ABC\)中：
              \((I)\)证明：平面\(PAC⊥\)平面\(ABC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-PC-B\)的余弦值；
              \((\)Ⅲ\()\)若点\(M\)在棱\(PC\)上，满足\( \dfrac {CM}{PM}=λ\)，\(λ∈[ \dfrac {1}{3}, \dfrac {2}{3}]\)，点\(N\)在棱\(BP\)上，且\(BM⊥AN\)，求\( \dfrac {BN}{BP}\)的取值范围．
              难度：较易
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            • 2．
              在四棱锥\(P-ABCD\)中，平面\(PAD⊥\)平面\(ABCD\)，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥AD\)，\(O\)为\(AD\)中点，\(PA=PD= \sqrt {5}\)，\(AD=AB=2CD=2\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(POB⊥\)平面\(PAC\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A-PC-D\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 3．
              如图，四边形\(ABCD\)中，\(AB⊥AD\)，\(AD/\!/BC\)，\(AD=6\)，\(BC=2AB=4\)，\(E\)，\(F\)分别在\(BC\)，\(AD\)上，\(EF/\!/AB\)，现将四边形\(ABCD\)沿\(EF\)折起，使平面\(ABEF⊥\)平面\(EFDC\)．
              \((1)\)若\(BE=1\)，是否在折叠后的线段\(AD\)上存在一点\(P\)，且\( \overrightarrow{AP}=λ \overrightarrow{PD}\)，使得\(CP/\!/\)平面\(ABEF\)？若存在，求出\(λ\)的值，若不存在，说明理由；
              \((2)\)求三棱锥\(A-CDF\)的体积的最大值，并求出此时二面角\(E-AC-F\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 4．
              已知平行四边形\(ABCD\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(AD=2AB\)，点\(E\)为\(AD\)的中点，点\(F\)为\(BD\)与\(CE\)的交点，现沿\(BE\)将\(\triangle ABE\)折起至\(\triangle PBE\)位置，使平面\(PBE\)与平面\(BCDE\)垂直，设点\(G\)为\(\triangle PBE\)的重心．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(GF/\!/\)平面\(FED\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求平面\(BFG\)与平面\(PBE\)所成锐二面角的余弦值．
              难度：较易
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            • 5．
              如图，在三棱锥\(P-ABC\)中，平面\(PAB⊥\)平面\(ABC\)，\(AB=6\)，\(BC=2 \sqrt {3}\)，\(AC=2 \sqrt {6}\)，\(D\)，\(E\)分别为线段\(AB\)，\(BC\)上的点，且\(AD=2DB\)，\(CE=2EB\)，\(PD⊥AC\)．
              \((1)\)求证：\(PD⊥\)平面\(ABC\)；
              \((2)\)若\(PA\)与平面\(ABC\)所成的角为\( \dfrac {π}{4}\)，求平面\(PAC\)与平面\(PDE\)所成的锐二面角．
              难度：较易
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            • 6．
              如图，在直三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(AC=AA_{1}=2\)，\(D\)为棱\(CC_{1}\)的中点，\(G\)为棱\(AA_{1}\)上一点，\(AB_{1}∩A_{1}B=O\)．
              \((1)\)确定\(G\)的位置，使得平面\(C_{1}OG/\!/\)平面\(ABD\)，并说明理由；
              \((2)\)设二面角\(D-AB-C\)的正切值为\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)，\(AC⊥BC\)，\(E\)为线段\(A_{1}B\)上一点，且\(CE\)与平面\(ABD\)所成角的正弦值为\( \dfrac {2 \sqrt {2}}{3}\)，求线段\(BE\)的长．
              难度：较易
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            • 7．
              已知\(AF⊥\)平面\(ABCD\)，四边形\(ABEF\)为矩形，四边形\(ABCD\)为直角梯形，\(∠DAB=90^{\circ}\)，\(AB/\!/CD\)，\(AD=AF=CD=2\)，\(AB=4\)．
              \((\)Ⅰ\()\)求证：\(AC⊥\)平面\(BCE\)；
              \((\)Ⅱ\()\)求点\(C\)到平面\(ADE\)的距离．
              难度：较易
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            • 8．
              如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，\(∠ACB=∠A_{1}CC_{1}=90^{\circ}\)，平面\(AA_{1}C_{1}C⊥\)平面\(ABC\)．
              \((1)\)求证：\(CC_{1}⊥A_{1}B\)；
              \((2)\)若\(BC=AC= \sqrt {2}AA_{1}\)，求二面角\(A_{1}-BC_{1}-A\)的余弦值．
              难度：较易
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            • 9． 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F分别为PC、CD的中点．
              （Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
              （Ⅱ）设PA=k•AB，且二面角E-BD-C的平面角大于45°，求k的取值范围．
              难度：中等
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            • 10． 正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B

              （Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
              （Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
              （Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．
              难度：较易
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