知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ CE=2，求三棱锥F-ABC的体积．

难度：较易

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2．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，F为A₁B₁的中点．求证：
（1）B₁C∥平面FAC₁；
（2）平面FAC₁⊥平面ABB₁A₁．

难度：较易

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3．已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

难度：较易

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4．在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ AC．
（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；
（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．

难度：较易

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5．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

难度：较难

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6．如图，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠ABC=60°，SA⊥平面ABCD，且SA=4，M在棱SA上，且AM=1，N在棱SD上且SN=2ND．
（Ⅰ）求证：CN∥面BDM；
（Ⅱ）求直线SD与平面BDM所成的角的正弦值．

难度：较易

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2， $PC%3DPD%3D%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ ，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求 $%20%5Cfrac%20%7BPM%7D%7BPC%7D$ 的值；若不存在，说明理由．

难度：较易

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8．

如图，在棱长为2 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是A₁B₁的中点，点P是侧面CDD₁C₁上的动点，且MP∥截面AB₁C，则线段MP长度的取值范围是（　　）

A． $%5B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%EF%BC%8C%20%5Csqrt%20%7B6%7D%5D$

B． $%5B%20%5Csqrt%20%7B6%7D%EF%BC%8C2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%5D$

C． $%5B%20%5Csqrt%20%7B6%EF%BC%8C%7D2%20%5Csqrt%20%7B3%7D%5D$

D． $%5B%20%5Csqrt%20%7B6%EF%BC%8C%7D3%5D$

难度：中等

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9．已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是．

难度：中等

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10．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2
2
，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．

难度：中等

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