知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2， $\text{[math]}$ ，CF=6，∠CFE=45°．
（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）在线段CF上求一点G，使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为 $\text{[math]}$ ．

难度：中等

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2．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB= $\text{[math]}$ PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ
（Ⅱ）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

难度：中等

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3．在直角梯形PBCD中， $\text{[math]}$ ，A为PD的中点，如图．将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且 $\text{[math]}$ ，如图．
（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．

难度：中等

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4．如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，EC⊥平面ABCD，AB= $\text{[math]}$ ，CE=1，G为AC与BD交点，F为EG中点，（Ⅰ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣D的大小．

难度：中等

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5．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．
（Ⅰ）证明：PF⊥FD；
（Ⅱ）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．

难度：中等

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6．已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E分别是棱C₁D₁的中点，试求：
（1）AE与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值；
（2）二面角C₁-DB-A的余弦值．

难度：中等

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