知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2，BC=
1
2
AD=1，CD=
3
．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）求直线BM与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求直线BM与CD所成角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，
试证：（1）
OA
+
OB
+
OC
=
0
；
（2）
SO
=
1
3
(
SA
+
SB
+
SC
)．

难度：较易

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3．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=3，BB₁=4，B₁H⊥平面A₁BC₁，垂足为H．
（Ⅰ）求证：H为△A₁BC₁的垂心；
（Ⅱ）求证：S2△A1B1C1=S△A1HC1•S△A1BC1（其中S△A1B1C1、S△A1HC1、S△A1BC1分别表示△A₁B₁C₁，△A₁HC₁，△A₁BC₁的面积）

难度：较难

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4．多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，AE⊥面ABC，AE∥CD．
（1）求证：AE∥面BCD；
（2）求证：面BED⊥面BCD．

难度：中等

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5．已知：在△ABC中，
AM
=
1
3
AB
，
AN
=
1
3
AC
，求证：MN∥BC，且MN=
1
3
BC．

难度：中等

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6． V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，
VP
=
1
3
VC
，
VM
=
2
3
VB
，
VN
=
2
3
VD
，求证：VA∥平面PMN．

难度：中等

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7．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，P点是四边形ABCD所在平面外一点，连接PA、PB、PC、PD，设点E、F、G、H分别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心．试用向量法证明E、F、G、H四点共面．

难度：中等

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8．在四面体ABCD中，点G₁，G₂，G₃，G₄分别为△ABC，△ACD，△ADB，△BCD的重心，点M在线段AG₄上，且AM：MG₄=2：1，求证：向量
G1G2
，
G1G3
，
G1M
共面．

难度：中等

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9．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，K，L分别为平行六面体棱的中点．求证，
（1）
LE
+
FG
+
HK
=
0
；
（2）E，F，G，H，K，L六点共面．

难度：较难

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10．如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求证：E、F、G、H四点共面．
（2）设EG与HF交于点P，求证：P、A、C三点共线．

难度：较难

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